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    • 初中一道较难的数学题，急求！！

    如图，平行四边形ABCD,M和N分别在BA,DC延长线上,AN平分∠BAD交BC于E，CM平分∠BCD，交AD于F，如果BF⊥MC，求证ABEF为菱形。
    不知道别吵

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    推荐答案   2012-10-19
    证明：因为ABCD是平行四边形
    所以AD=BC
    AB=DC
    角BAD=角BCD
    AB平行DC
    AF平行BE
    所以角EAD=角AEB
    因为AN平分角BAD
    所以角EAD=角BAE=1/2角BAD
    所以角BAE=角AEB
    所以AB=BE
    因为CM平分角BCD
    所以角BCF=1/2角BCD
    所以角AEB=角BCF
    所以AE平行MC
    所以AB/BM=BE/BC
    所以BM=BC
    所以三角形BMC是等腰三角形
    因为BF垂直MC
    所以BF是三角形BMC的中线
    所以MF=CF
    因为AB平行DC
    所以角M=角FCD
    角MAF=角D
    所以三角形AMF和三角形DCF全等（AAS)
    所以AF=DF=1/2AD=1/2BC
    所以AF=BE
    因为AF平行BE（已证）
    所以四边形ABEF是平行四边形
    因为AB=BE(已证）
    所以四边形ABEF是菱形
    温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
    其他回答
    第1个回答  2012-10-20
    证明：∵AN平分∠BAD交BC于E，CM平分∠BCD，交AD于F
    ∴∠FAE=∠BAE,∠ABF=∠EBF
    又∵四边形ABCD是平行四边形
    ∴∠FAB+∠ABE=180º, AF//BE
    ∴∠FBA+∠BAE=90º ，,∠ABF=∠EBF=∠BFA
    ∴AE⊥BF, AB＝AE
    设AE交BF于点O,则由ASA可知⊿ABO≌⊿EBO
    ∴BE=BA=AF
    ∴四边形ABEF是平行四边形
    ∴四边形ABEF是菱形。
    第2个回答  2012-10-19
    你好，跟你共同探讨一下这道题。
    设AE、BF交于点G，
    1、由AN平分∠BAD-----∠BAE=∠EAF，由AF//BE-----∠BAE=∠AEB，故AB=BE；
    2、由AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，易证AE//FC；又BF⊥MC，故BF⊥AE；即BG为等腰三角形ABE的高，可知∠FBE=∠FBA。
    3、由AF//BE-----∠FBE=∠BFA，又∠FBE=∠FBA，故∠BFA=∠FBA-----AB=AF；
    4、由（1）（3）结论，得BE=AF，又AF//BE-----ABEF为平行四边形，又AB=BE，故其为菱形。
    第3个回答  2012-10-18
    这个题关键条件是BF垂直于MC
    解法如下：
    因为BF⊥MC，所以∠FBC+∠FCB=90度
    因为AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，又因为ABCD是平行四边形
    所以AN平行于CM,所以∠AEB=∠FCB
    所以∠FBC+∠AEB=90度
    所以AE⊥BF
    所以ABEF是菱形追问

    AE⊥BF后怎么可能就直接可以ABEF是菱形，应该还要证ABEF是平行四边形，我就是不会证ABEF是平行四边形

    第4个回答  2012-10-21
    ABCD是平行四边形
    AD=BC，AB=DC，角BAD=角BCD，AB平行DC，AF平行BE
    所以角EAD=角AEB
    因为AN平分角BAD
    所以角EAD=角BAE=1/2角BAD
    所以角BAE=角AEB
    所以AB=BE
    因为CM平分角BCD
    所以角BCF=1/2角BCD
    所以角AEB=角BCF
    所以AE平行MC
    所以AB/BM=BE/BC
    所以BM=BC
    所以三角形BMC是等腰三角形
    因为BF垂直MC
    所以BF是三角形BMC的中线
    所以MF=CF
    因为AB平行DC
    所以角M=角FCD
    角MAF=角D
    所以三角形AMF和三角形DCF全等（AAS)
    所以AF=DF=1/2AD=1/2BC
    所以AF=BE
    因为AF平行BE
    所以四边形ABEF是平行四边形
    因为AB=BE
    所以四边形ABEF是菱形
    第5个回答  2012-10-18
    解：
    因为BF⊥MC，所以∠FBC+∠FCB=90度
    因为AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，又因为ABCD是平行四边形
    所以AN平行于CM,所以∠AEB=∠FCB
    所以∠FBC+∠AEB=90度
    所以AE⊥BF
    所以ABEF是菱形
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