第1个回答 2008-03-13
n个无关向量的行列式,等于这n个向量的端点和原点组成的那个多面体
的(有向)体积V(v1,...vn)。理由如下:
设前n-1个向量张成的低一维子空间是S。n=3时,S就是一个平面。第n
个向量vn可以分解成两部分vn = vn1 + vn2,其中vn1属于S,vn2垂直
于S。因为体积等于底面积乘以高,所以vn1对体积没有贡献。就是说,
V(v1,...,vn)=V(v1,...,vn2)。同样的,行列式函数det(v1,...,vn)具
有同样的性质。在单位正交基上,这两个函数V和det给出同样的值1。
且这两函数都是多线性的(对每个向量都是线性的)。简单的代数推理
可以证明,这些性质(多线性,反对称,单位)唯一的确定了这个函数
。就是说V=det.
3维空间中,3个向量的混合积(v1xv2)*v3很容易证明是V(v1,v2,v3)。
这是因为v1xv2是长度是v1,v2张成的平行四边形面积,方向与这平行四
边形垂直。与v3的内积刚好是“底面积乘以高”。事实上,混合积也是
满足多线性,反对称,在单位正交基上取1,所以混合积也等于det.
有了这个几何意义你的所有问题都解决了。