利用定积分求极限

Question

题目以图片形式给出。请用定积分求极限。

Answer 1

解：原式=lim(n->∞)[(1/n)(ln(2n+1)+ln(2n+2)+..........+ln(2n+n)-nlnn)]
=lim(n->∞)[(1/n)(ln(2+1/n)+ln(2+2/n)+..........+ln(2+n/n))]
=∫<0,1>ln(2+x)dx (应用定积分定义)
=ln3-∫<0,1>[x/(2+x)]dx (应用分部积分法)
=ln3-∫<0,1>[1-2/(2+x)]dx
=ln3-(1-2ln3+2ln2)
=3ln3-2ln2-1。