怎么证明矩阵的特征值全为0？而不是其中的一部分特征值为0？

Question

如题所述

Answer 1

要证明矩阵的特征值全为0，可以使用以下方法：1. 假设矩阵A有n个特征值，设其为λ1，λ2，λ3，...，λn。2. 由特征值的定义可得，矩阵A与任意特征值λi对应的特征向量vi满足以下关系式： Avi = λivi3. 将特征向量vi表示为列向量[x1, x2, ..., xn]的形式，那么上式可以写成： A[x1, x2, ..., xn]^T = λ[x1, x2, ..., xn]^T 即 [A-λI][x1, x2, ..., xn]^T = [0, 0, ..., 0]^T 其中I为单位矩阵。4. 明显，只有当[A-λI]的行列式为0时，上述齐次线性方程组才有非零解。5. 因此，我们可以得到关键结论：如果A的所有特征值均为0，则必有[A-0I]的行列式为0。6. 现在只需证明，当[A-0I]的行列式为0时，A的所有特征值均为0。7. 假设A有特征值λ1不等于0，那么一定有非零特征向量v1满足： Av1 = λ1v18. 因为λ1不等于0，所以我们可以将上式写成： A(v1/λ1) = v1 得到了新的特征向量v1/λ1，根据特征值的定义，它对应的特征值λ2为： Av1/λ1 = λ2(v1/λ1) 即 Av1 = λ2v19. 但这个结果与我们一开始的假设矛盾，因此只能得出结论：当[A-0I]的行列式为0时，A的所有特征值均为0。因此，证明矩阵的特征值全为0的方法是，证明它的特征矩阵[A-0I]的行列式为0，从而可以得出所有特征值均为0的结论。

Answer 2

你好！书上证明的任一特征值为0就说明了所有特征值全为0，不用另外证明。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！追问

我就是不懂为什么全部特征值为0才问你啊！

为什么全为0？？

追答

书上证明了，只要λ是特征值（不是指定的特征值，而是任何一个），就有λ=0，说明不存在不等于0的特征值，就是全部特征值都为0。

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Answer 3

设k是A的特征值，x是特征向量，则Ax=kx，A²x＝A(Ax)=A(kx)=kAx=k²x，A³x＝.......＝k³x＝0，x≠0，所以k³＝0，k＝0。本回答被网友采纳

Answer 4

因为λ表示任一特征值，而λ=0，故所有特征值均为零

Answer 5

A^2=0，由哈密顿凯莱定理，f(A)=A^2，所以特征多项式就是f(λ)=λ^2.令特征多项式为零，得到特征值为0(2重)