在三角形ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC

Question

在三角形ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC² 还有一题 一群八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹杆插在离湖边1米远的水底，只见竹竿高出水面0.2米，把竹竿的顶端拉向湖边，竹竿和湖面的水面干好平齐，求湖水的深度和竹竿的长度

Answer 1

延长AD至E，使DE=AD，连结CE、BE，

∵AE和B互相平分，

∴四边形ACEB是平行四边形，

∴CE=AB=5，

AE=2AD=12，

AE^2+CE^2=5^2+12^2=169,

AC^2=13^2=169,

∴CE^2+AE^2=AC^2,

∴ 根据勾股定理逆定理，

△ACE是RT△，

〈AEC=90°，

∴△ABE是RT△，

在△DEC中，

根据勾股定理定理，

CD^2=DE^2+CE^2=6^2+5^2=61,

∴CD=√61。

∴BC=2CD=2√61。

2、设湖深为x米，

则竹竿长为x+0.2米，

湖边至沿至竹竿底距离就是竹竿长度，x+0.2m

根据勾股定理，

x^2+1^2=(x+0.2)^2,

x^2+1=x^2+0.4x+0.04,

0.4x=0.96,

x=2.4(米），

∴水深为2.4米，竹竿长为2.4+0.2=2.6米。 

Answer 2

1、高中做法
在△ABC中
cosB=(AB²+BC²-AC²)/2AB×BC
在△ABD中
cosB=（AB²+BD²-AD²)/2AB×BD
∴(AB²+BC²-AC²)/2AB×BC=（AB²+BD²-AD²)/2AB×BD
∵BD=1/2BC
∴AB²+BC²-AC²=2AB²+2(BC/2)²-2AD²
5²+BC²-13²=2×5²+BC²/2-2×6²
BC²/2=122
BC=2√61(负值舍去）
2、初中做法
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE
∵BD=CD，AD=DE，∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△CED
∴CE=AB=5
∵AE=12，CE=5，AC=13
∴CE²+AE²=AC²
∴∠E=90°
∴CD²=5²+6²=61
∴CD=√61
∴BC=2√61

Answer 3

在三角形ABC中，边BC上的中线AD，根据余弦定理有
cos∠ADB=(AD²+BD²-AB²)/(2*AD*BD)
cos∠CDB=(AD²+CD²-AC²)/(2*AD*CD)
∵∠ADB+∠CDB=180°
∴cos∠ADB+cos∠CDB=0
∴AD²+BD²-AB²+AD²+CD²-AC²=0
∵AB=5，AC=13，AD=6
∴BD²+CD²=122
∵BD=CD=BC/2
∴BC²=61
∴BC=√61追问

bc平方
多少？

追答

∴BC²=244
∴BC=2√61

Answer 4

题一
证明 ：
延长一倍AD于P
连接PC
∴PA=12
AD=PD
∵AD为△ABC的中点
∴BD=DC=1/2BC
∵∠ADB=∠CDP,BD=BC,AD=PD
∴△ABD≌△PCD(SAS)
∴∠APC=∠BAP
PC=AB=5
∵AP²+PC²=12²+5²=13²=AC²
∴∠APC=90°
∴∠BAP=90°
在rt△ABD中
BD=√AB²+AD²=√61
∵BD=1/2BC
∴BC=2√61
∴BC²=244

题二
设竹竿高x米
（x﹣0.2）²﹢1²＝x²
解得x=2.6m
∴水深=2.6-0.2=2.4m追问

bc²不是194吗？

追答

bc²=(2√61)²=4×61=244

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Answer 5

①取AD的中线BE，AE=6÷2=3,
AB=5，AE=3，则BE=4（勾股定理）
DE=3，BE=4，则BD=5(勾股定理)
因AD为BC中线，则BD=DC=5，则BC=10
②设水深x米，则竹竿长度为x+0.2米
的算式1²+x²=（x+0.2）²
得x=2.4（米）