二重积分在极坐标下如何更换积分次序

Question

比如积分区域D为0<=y<=x,x2+y2<=2x,如何先对t<角度>积分,再对r积分。最好能说出此类问题的一般方法

Answer 1

先画图，圆心在x轴上，过原点，圆在y轴右侧，且与y轴相切，所以θ的范围是：-π/2≤θ≤π/2
圆的极坐标方程是ρ＝2acosθ，从极点出发作射线，与圆的交点一个是原点，另一个交点的ρ坐标是2acosθ，所以ρ的范围是：0≤ρ≤2acosθ

Answer 2

这类题都是先画出所围成的面积看图形，然后进行变换比如这道题的图形就是一个半圆被切去一个扇形，角度从x轴看就是0到45度（扫过该区域），然后从原点引出射线，看穿过区域的r的值（用角度来表示），在这里就是0到圆的边界也就是（2R*cost=2cost）最后dxdy的变换就简单了，只是别忘了多一个r