高二数学题

Question

已知命题P:任意X∈R，sinX+cosX＞m ；命题q:存在X∈R，X^2+mX+1＜0.若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围。

Answer 1

由p或q为真，p且q为假知，P和Q两命题只有一个为真，另个为假；

若P真Q假，则①sinx+cosx>m   (X∈R);  ②X^2+mX+1≧0   (X∈R);

  解①得：X∈R，sinX+cosX≧﹣√2；所以m＜﹣√2

  解②得：X∈R，X^2+mX+1=（X+m/2)^2－(m^2)/4+1≧0;所以﹣2≤m≤2

由①②得，取交集，所以﹣2≤m＜﹣√2；

若p假Q真，

则①sinx+cosx≤m   (X∈R);  ②X^2+mX+1＜0   (X∈R);

  解①得：X∈R，sinX+cosX≤√2；所以m≥√2

  解②得：X∈R，X^2+mX+1=（X+m/2)^2－(m^2)/4+1＜0;所以m＜﹣∞或m＞∞

由①②得，取交集，m无取值范围；

综上⒈⒉知，m的取值范围是﹣2≤m＜﹣√2；

Answer 2

解题的关键是把p和q具体化：
(1) 命题P:任意X∈R，sinX+cosX＞m
因sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
因此命题p转化为：对任意X∈R，√2sin(x+π/4)>m
从而要求m<-√2
(2) 命题q:存在X∈R，X^2+mX+1＜0
令：f(x)=x^2+mx+1
此函数图象为开口向上的抛物线，因此要“存在X∈R，X^2+mX+1＜0”，就是要求图象与x轴有两个交点，才能保证有那样的x存在，使得函数值取到负值。
故要求方程x^2+mx+1=0有两个实根，即根的判别式Δ>0
即：m^2-4>0，解得m<-2或m>2
再根据题意“若p或q为真，p且q为假”得m的取值范围是：m>2或-2≤m≤-√2本回答被提问者采纳