lim[n→∞] y = e
解题过程如下：
令y=n/(n!)^(1/n)=[(n^n)/n!]^(1/n)
取对数：lny=(1/n)[nlnn-lnn-ln(n-1)-...-ln1]
=(1/n){ln[n/(n-1)]+ln[n/(n-2)]+...+ln[n/1]}
=(1/n){ln[1/(1-1/n)]+ln[1/(1-2/n)]+...+ln[1/(1-(n-1)/n)+ln[1/(1-n/n)]}
=(1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
因此：
lim[n→∞] lny
=lim[n→∞] (1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
=∫[0→1] ln[1/(1-x)] dx
=∫[0→1] ln(1-x) d(1-x)
=(1-x)ln(1-x) + ∫[0→1] 1 dx
=(1-x)ln(1-x) + x |[0→1]
=1
因此：lim[n→∞] y = e
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
一、lim[n→∞] y = e
解题过程如下：
令y=n/(n!)^(1/n)=[(n^n)/n!]^(1/n)
取对数：lny=(1/n)[nlnn-lnn-ln(n-1)-xxx-ln1]
=(1/n){ln[n/(n-1)]+ln[n/(n-2)]+xxx+ln[n/1]}
=(1/n){ln[1/(1-1/n)]+ln[1/(1-2/n)]+xxx+ln[1/(1-(n-1)/n)+ln[1/(1-n/n)]}
=(1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
因此：
lim[n→∞] lny
=lim[n→∞] (1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
=∫[0→1] ln[1/(1-x)] dx
=∫[0→1] ln(1-x) d(1-x)
=(1-x)ln(1-x) + ∫[0→1] 1 dx
=(1-x)ln(1-x) + x |[0→1]
=1
因此：lim[n→∞] y = e
二、n的阶乘的开n次方极限为无穷大，具体可以以n的阶乘的开n次方为分母，让分子为零，整体扩大n次得n的阶乘分之一，及解得极限为无穷大。
n次根号下【n^5 +4^n】=4*n次根号下【n^5 /4^n+1】
上式>1，由于指数函数增长速度比幂函数快，因此当n充分大时上式<n次根号下【2】趋向于1
由夹逼准则，原式极限为1。
扩展资料：
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：
（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
参考资料来源：百度百科-极限思想
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解题过程如下：
令y=n/(n!)^(1/n)=[(n^n)/n!]^(1/n)
取对数：lny=(1/n)[nlnn-lnn-ln(n-1)-xxx-ln1]
=(1/n){ln[n/(n-1)]+ln[n/(n-2)]+xxx+ln[n/1]}
=(1/n){ln[1/(1-1/n)]+ln[1/(1-2/n)]+xxx+ln[1/(1-(n-1)/n)+ln[1/(1-n/n)]}
=(1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
因此：
lim[n→∞] lny
=lim[n→∞] (1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
=∫[0→1] ln[1/(1-x)] dx
=∫[0→1] ln(1-x) d(1-x)
=(1-x)ln(1-x) + ∫[0→1] 1 dx
=(1-x)ln(1-x) + x |[0→1]
=1
因此：lim[n→∞] y = e
二、n的阶乘的开n次方极限为无穷大，具体可以以n的阶乘的开n次方为分母，让分子为零，整体扩大n次得n的阶乘分之一，及解得极限为无穷大。
n次根号下【n^5 +4^n】=4*n次根号下【n^5 /4^n+1】
上式>1，由于指数函数增长速度比幂函数快，因此当n充分大时上式<n次根号下【2】趋向于1
由夹逼准则，原式极限为1。
扩展资料：
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：
（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
参考资料来源：百度百科-极限思想