通过点(2,1,1)而与直线x 2y-z=0,2x y-z=0垂直的平面方程

Question

如题所述

Answer 1

疑似处假定都是“+”号！即 x+2y-z=0 & 2x+y-z=0
直线的方向数 l=|(2,-1)(1,-1)|=-2+1=-1 ；
m=|(-1,1)(-1,2)|=-2+1=-1 ；
n=|(1,2)(2,1)|=1-4=-3
∴ 平面的法向量为 （-1，-1，-3） => 法向量=（1,1,3）
设平面方程为 x+y+3z+D=0 => 2+1+3*1+D=0 => D=-6
∴ 平面方程 x+y+3z-6=0 为所求 。

Answer 2

平面x+2y-z+1=0与x-y+z-1=0的法线向量n1={1,2,-1},n2={1,-1,1}
所以直线{x+2y-z+1=0
x-y+z-1=0｝的方向向量s1=n1×n2={1,-2,-3}
同理直线{2x-y+z=0
x-y+z=0｝的方向向量s2={0,-1,-1}
故所求平面的法线向量n=s1×s2={-1,1,-1}
所求平面方程为：-1×(x-1)+1×(y-2)-1×(z-1)=0
即：x-y+z=0

Answer 3

疑似处假定都是“+”号！即 x+2y-z=0 & 2x+y-z=0
直线的方向数 l=|(2,-1)(1,-1)|=-2+1=-1 ；
m=|(-1,1)(-1,2)|=-2+1=-1 ；
n=|(1,2)(2,1)|=1-4=-3
∴ 平面的法向量为 （-1，-1，-3） => 法向量=（1,1,3）
设平面方程为 x+y+3z+D=0 => 2+1+3*1+D=0 => D=-6
∴ 平面方程 x+y+3z-6=0 为所求 。