如图一,已知△ABC为等边三角形,点D为BC边上一点,∠ADE=60°,边DE与∠ACB的外角平分线交于点E.

Question

①求证：AD=DE
②若点d在cb的延长线上，(1)中的结论是否成立？若成立证明

Answer 1

1、（1）

 

   延长EC，截取CF=DC，连接DF

∵△ABC是等边三角形

∴∠ACD=60°

∵CE是∠ACB外角的平分线

∴∠ACE=120°/2=60°

∴∠DCF=180°-∠ACD-∠ACE=180°-60°-60=60°

∵CF=DC

∴△CDF是等边三角形（两腰相等，顶角60°）

∴DC=DF，∠CDF=∠CFD=∠EFD=60°

∵∠ADE=∠CDF=60°

∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC

即∠ADC=∠EDF

在△ACD和△EDF中

DC=DF，∠ADC=∠EDF，∠ACD=∠EFD=60°

∴△ACD≌△EDF(ASA)

∴AD=DE 

（2）

 

∵DF‖AC

AF＝DC

∠BFD＝∠BDF＝∠B＝60°

∠AFD＝180°－60°＝120°

∵∠ACB＝60，CE是∠ACB的外角平分线

∴∠ACE＝1/2×(180°-∠ACB)=60°

∠DCE=120°

∵∠FAD=∠BFD-∠ADF=60-∠ADF

∵∠CDE=180°-∠FDB-∠ADE-∠ADF=180°-60°-60°-∠ADF=60°-∠ADF

∴∠FAD=∠CDE

∠AFD＝∠DCE

AF＝DC

△AFD≌△DCE

AD=DE

2、

 

做DF‖AC，交BA延长于F

AF＝DC，∠CAD＝∠ADF

∠F＝60°

∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线

∴∠DCE＝∠ACE＝60°

∠F＝∠DCE

∵∠ACE＝60°，∠ADE＝60°

∴∠CAD＝∠DEC＝∠ADF

△AFD≌△DCE

AD=DE

3、

 

做DF‖AC，交AB延长于F

∠F＝60°

∠DBF＝∠ABC＝60°

△DBF是等边三角形，DB＝BF

AF＝AB+BF

DC＝BC+DB

∴AF＝DC

∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线

∴∠DCE＝60°

∠F＝∠DCE

∵∠EDC＝∠ADE－∠ADC＝60°－∠ADC

∵∠DAF＝∠ABC－∠ADC＝60°－∠ADC

∴∠EDC＝∠DAF

△AFD≌△DCE

AD=DE