f(x)是R上的函数，对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y),且x小于零时，f(x)大于1，证明

Question

f(0)=1,且X大于0时，f(x)大于0小于1；f(x)在R上递减；若f(1)=二分之根号2，求f(x)在【-8，-4】上的最小值

Answer 1

方法一：
f(x)是R上的函数，对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y),
在函数中，有和差化积，积化和差，只有指数函数和对数函数。
显然，这里f(x)=a^x 是指数函数，根据题意0<a<1, 且f(1)=（根号2)/2，那么
f(x)=[(根号2)/2]^x ，在定义域内是减函数。所以
f(x)在[-8，-4]上的最小值f(-4)=4。

方法二：
这里f(x) 是怎么看出来，当然可以看出来，但是也可以解出来，要用到微分，下面我们分析，
对任意实数，都有f(x+y)=f(x)f(y),说明函数连续，要不然取不到任意实数，说明函数连续。
f(x+y)=f(x)f(y)，两边减去f(x)，得
f(x+y)-f(x)=f(x)f(y)-f(x)，两边除以y不等于0，有
[f(x+y)-f(x)]/y=[f(x)f(y)-f(x)]/y，两边取极限y趋于o，有
Lim[f(x+y)-f(x)]/y=f(x)Lim[f(y)-f(0)]/y ，解得
f'(x)=f(x)*f'(0)，这个微分方程可以求解，解得结果代入初始条件，结果也就是
f(x)=Ce^kx f(0)=1 f(1)=（根号2)/2，解得
k=-ln2/2，C=1所以
f(x)=e^[(-ln2/2)x]
f(x) ，在定义域内是减函数。所以
f(x)在[-8，-4]上的最小值f(-4)=4。

Answer 2

对一楼回答者关于连续性的一个补充证明，也不能算很严谨的证明，事实上高中数学有时候并不那么严谨，出题者在关键的步骤上含糊一下。

对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,那么函数f(x)在R上连续。

证明：在f(x+y)=f(x)f(y)两边同时减 f(x)，有
f(x+y)-f(x)=f(x)f(y）-f(x)=f(x)[f(y)-1] ①
由于x、y∈R，那么这里可以说y是相对于x的一个微小改变量，即相当于Δx（这里已经不算很严谨了，但是整个微积分都是这么架构的），
那么当y趋向于0时，①式右边就为 0，那么根据高等数学中函数连续性的定义就知道f(x)在R上是连续的。
注：为什么说f(0)=1 ? 这是因为由于x、y的任意性，在f(x+y)=f(x)f(y)中令，x=y=0，可以推导出f(0)=f²(0)，两边同时除以f(0)≠0 ，（注意这里说f(0)≠0，其实也很牵强，题目题设只是说“x小于零时，f(x)大于1”，但是x具有任意性并不一定都是小于0 ，也就是说f(0)也有可能等于0）本回答被提问者采纳