高中数学问题，三角函数的次数不同的函数的周期性,f(x)=sin2x+sin4x

Question

会不会存在一个实数T，T不是sin2x的周期，也不是sin4x的周期，也就不是它们周期的公倍数，但是可以使f(x+T)=sin2(x+T)+sin4(x+T)=f(x),虽然sin2(x+T)不等于sin2x，sin4(x+T)不等于sin4x，但并不代表它们的和不相等，例如3不等于4，7不等于6，但3+7=4+6
会不会有这样的T对任意X成立,而T<π.

Answer 1

一个简单的方法，分别判断两者的周期性，取最小公倍数
当然这个方法有点问题比如f(x)=(sinx)^2+(cosx)^2之类的，如果实在做不出可以用一下把

f(x)=(sinx)^2+(sinx)^4
=(sin(x+π))^2+(sin(x+π))^4
=f(x+π)
所以最小正周期为π

f(x)=sin2x+sin4x
=sin2(x+π)+sin4(x+π/2)
=sin2(x+π)+sin4(x+π)
=f(x+π)
最小正周期也是π

如果你不放心的话，可以再用π/2试一下，看看是否依然等于f(x)，如果等于的话，就再试π/4把= =|||
一般来说高一的题目试一次就够了……追问

会不会存在一个实数T，T不是sin2x的周期，也不是sin4x的周期，也就不是它们周期的公倍数，但是可以使f(x+T)=sin2(x+T)+sin4(x+T)=f(x),虽然sin2(x+T)不等于sin2x，sin4(x+T)不等于sin4x，但并不代表它们的和不相等，例如3不等于4，7不等于6，但3+7=4+6
会不会有这样的T对任意X成立

追答

有的……我记得我做过这样的题目……但我一时想不起来了= =||

我突然想起来了
f(x)=abs(sinx)+abs(cosx)（abs表示取绝对值……）
f(x+π)=abs(sin(x+π))+abs(cos(x+π))
=abs(sinx)+abs(cosx)
=f(x)
但是f(x+π/2)=abs(sin(x+π/2))+abs(cos(x+π/2))
=abs(-cosx)+abs(sinx)
=abs(cosx)+abs(sinx)
=f(x)
所以……这个函数的最小正周期不是π而是π/2
这里就交换了一下 abs(sin(x+T))=abs(cosx)而abs(cos(x+T))=abs(sinx)

追问

看得出你很用心，谢谢你。我还想问多一下：如果有这样的T，那怎么可以用最小公倍数法来做呢？

追答

首先……这种情况真心很少……然后就是每次做的时候都注意一下，看T/2是不是也符合要求……如果碰到符合的……就稍微记一下……一般也就两三种格式……我做了一年多的题目也就碰到过三次一样的- -……具体方法的话……MS没有……简单来说就是积累

Answer 2

sin2x的周期是π，sin4x的周期是π/2，取两个的公倍数就行了，f(x)的周期就是π。

同样的，sin2x+sin3x的周期是2π（π和2π/3的公倍数）本回答被网友采纳

Answer 3

三角函数的最小正周期为由周期最长的函数决定。
因此周期为π
（要求只是简单三角函数的加减）

Answer 4

T=π