多元函数的极值----拉格朗日乘数法 问题

Question

求椭圆面(x^2)/3 +(y^2)/2 +z^2=1 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴之长.

请写出详细的求解过程 包括如果后面计算要硬算也把过程写出来..

我的思路是椭球面与平面的交线上点到原点的距离d^2=x^2+y^2+z^2 (原点应该是椭圆的中心吧?)
然后构造函数
L(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 +λ[(x^2)/3 +(y^2)/2 +(z^2)-1]+u(x+y+z)

然后接下去列5个式子..我最多只能算出λ...

有更好的算法吗?
交线上点到原点距离的极大值就是长半轴..极小值就是短半轴

Answer 1

不用这么麻烦。

在平面上取两个单位正交的向量X,Y, 把平面x+y+z=0写成参数式：

(x,y,z) = uX+vY

将上面的参数式代入(x^2)/3 +(y^2)/2 +z^2=1，得到关于u,v的方程,但是含有uv这样的二次项.

再在u,v平面作一个旋转,就可以消去uv项, 得到
用u,v做变量的椭圆标准方程即可.本回答被提问者采纳

Answer 2

教你个简单点的法，不过要用一种数学软件叫Mathematica，你可以把d^2表示成只有一个自变量的函数，然后根据自变量范围求最值。
输入命令：Slove[{(x^2)/3 +(y^2)/2 +z^2==1,x+y+z==0},{x,y}] 运行后得到x和y的值（用z表示的），后代入d^2，再输入命令：Max[d^2,{z,zMin,zMax}]运行得到最大值，同样输入Min[d^2,{z,zMin,zMax}]运行后得到最小值。

Answer 3

就是这么做的。算出λ后一定能算出极值的。

Answer 4

这种题真的只能这么做，我没有更好的方法
给我加点分吧

Answer 5

没有