sin函数的极限为什么是1

Question

如题所述

Answer 1

对于函数y=sinx，其极限不存在
正弦函数是一个周期函数，其值域为[-1,1]
关于其极限不存在，考虑反证法：
首先若函数在无穷处如果有极限，则极限一定是唯一的。
但对于y=sinx
可以找到两个点列，
一个是x=2kπ+π/2
一个是x=2kπ-π/2
其中k为整数
则这两个点列，前者恒为1，因此收敛到1，后者恒为-1，因此收敛到-1。
因此正弦函数的极限不存在（否则与本回答的第一句话矛盾）

Answer 2

当 x 趋近于 0 时，sin(x)/x 的极限是 1。

这个极限被称为正弦函数的振动性质的重要结果之一，也是数学中的一个经典结果。它可以通过多种方法证明，其中一种常见的方法是利用泰勒级数展开。

根据泰勒级数展开，我们知道 sin(x) 可以表示为 x 的无穷级数展开式，即 sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...。当我们将这个展开式代入 sin(x)/x，可以看到除去 x 之外的所有项都会趋于 0，因此在 x 趋近于 0 的情况下，sin(x)/x 的极限为 1。

需要注意的是，这个结果只在 x 趋近于 0 的情况下成立。在其他情况下，sin(x)/x 的值将会有所不同。