矩阵对角化和相似对角化一样吗？

Question

如题所述

Answer 1

对角化和相似对角化是没有区别的，取对角化矩阵的时候，在满足特征值分别可取与原矩阵阶数相同的特征向量时，该对角矩阵即与原矩阵相似，所以说这两个其实是同一件事的不同说法。

相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，

这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式，一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。

扩展资料：

对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵  ，

如果对于 ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ，使  的结果为对角矩阵，则称矩阵  将矩阵  对角化。

对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。

矩阵相似于对角矩阵的条件

充要条件

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

证明过程：

（1）必要性。

设有可逆矩阵P，使得

令矩阵P的n个列向量为  ，则有

因而  ，因为P为可逆矩阵，所以  为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值  的特征向量。

（2）充分性。

由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为  ，对应的特征值分别为  ，则有  ，

以这些向量为列构造矩阵  ，则P可逆，且 ，其中C如下：

即  。

参考资料：对角化_百度百科