在空间直角坐标系中 经过点p(3,1,0)且与直线 2x+y=2 , x-2y+z=4 垂直的平面的方程为???

Question

在空间直角坐标系中 经过点p(3,1,0)且与直线 2x+y=2 , x-2y+z=4 垂直的平面的方程为???

Answer 1

那是两个平面吧？

两个平面的交线与所求的平面垂直，因此在直线上取两点，就可得所求平面的法向量。
由 2x+y=2 ，x-2y+z=4 ，取 x1=1 ，y1=0 ，z1=3 ，x2=0，y2=2 ，z2=8 ，
得所求平面的法向量 n=(x2-x1，y2-y1，z2-z1) = ( -1，2，5) ，
因此，所求平面方程为 -1*(x-3)+2*(y-1)+5z=0 ，
化简得 x-2y-5z-1=0 。追问

那不是两个平面，题目指明这是两条空间直线..

追答

如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线一定平行。你看那两条线平行吗？

还有，最后求出的平面方程，与那两“直线”的方程，形式上有什么区别呢？

最后，空间直线的方程都具有形式：(x-x0)/u1=(y-y0)/u2=(z-z0)/u3 ，你看那两个像直线么？

Answer 2

平面2x+y=2的法向量m=（2，1，0）
平面x-2y+z=4的法向量n=（1，-2，1）
所以直线的方向向量 i j k
p= 2 1 0 =i -2j-5k
1 -2 1

所以平面方程为：(x-3)-2(y-1)-5(z-0)=0
即为：x-2y-5z-5=0

注意：m，n，p是向量。

Answer 3

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