设随机变量X服从二项分布B(3,1/3),则E（x^2）=

Question

如题 为什么结果不是n2p2=1？

Answer 1

想要问的是不是为什么E(x^2) 不等于[E(x)] ^ 2
是这样的，设P(X = x(i)) = p(i), Sigma表示求和号
方差 = Sigma(p(i) * [x(i) - E(X)] ^2) =
= Sigma(p(i) * x(i) ^ 2)) - 2* E(X) * Sigma(p(i) * x(i)) + E(X)^2 * Sigma(p(i))
= E(X^2) - 2*E(X) * E(X) + E(X) ^ 2
= E(X^2) - E(X) ^ 2
所以如果方差不为0的话，E(X^2) 与E(X)^2是不可能相等的（方差等于0只出现在均匀分布中）追问

。。。我是想知道二项分布里面那个结果，不是他们的关系，答案写5/3。怎么出来的

追答

是这样的
一般的情况：计算
E(X^2) = Sigma(C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) * k^2)
这里要用一个组合数的公式，主要就是把k^2这一项吸收到组合数里面，便于求和：
C(n, k) = n/k * C(n-1, k-1) = n(n-1)/k(k-1) * C(n-2, k-2)
于是
Sigma(C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) * k)
= Sigma (n*C(n-1, k-1) * p^k * (1-p)^(n-k))
= np * Sigma (C(n-1, k-1) * p^(k-1) * (1-p)^ (n-1 - (k-1)))
= np
Sigma(C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) * k*(k-1))
= Sigma(n(n-1) * C(n-2, k-2) * p^k * (1-p)^(n-k))
= n(n-1)p^2 * Sigma(C(n-2, k-2) * p^(k-2) * (1-p)^(n-2-(k-2)))
= n(n-1)p^2
注意到E(X^2) = E(X(X-1)) + E(X)
以上两式相加即得 E(X^2) = np + n(n-1)p^2
由此还可以算出方差为np(1-p)