复变函数的一道证明题，大伙帮我看看！

Question

如果f(z)=u(x,y)+i (x,y)在区域D内解析且满足下列条件之一，则f(z)必为一常数。
argf(z)在D内为一常数。
解：因为argf(z)≡常数，z∈D，由主值支argω的表达式得
arctanv(x,y)/u(x,y)≡常数=C，及u^2(x,y)+v^2(x,y))≡C^2≠0,(x,y)∈D
①若C=0，则v(x,y)≡0,u(x,y)＞0，(x,y)∈D
就这步不懂，为什么u^2(x,y)+v^2(x,y))≡C^2≠0就得出v(x,y)≡0,u(x,y)＞0？
能帮我解释一下吗？详细点哦！

Answer 1

写错了吧。第一种情况针对的是辐角是常数C，不是u^2+v^2=C的那个常数C。也即是辐角是0。