分组、错位相减、裂项、倒序相加求和，累加、叠乘求通项等所有方法在数列里的应用

Question

呃……就是告诉我在什么条件下用什么方法解题就好了，

如：当an=n.2^n此类通项公式由一个等差数列和一个等比数列的积构成时，可以用错位相减法求Sn。

要详细哦……就是求高中数列里除了公式法之外的求an和Sn的具体应用题型啦！
是求题型！各种题型！在什么情况下用什么方法！

Answer 1

求和：
1、错位相减：你已知知道了，不说。
2、分组求和：一个数列的通项公式可以分成几个特殊数列的和。例：an=n+1/2^n
3、裂项：形如：1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+……+1/n(n-1),主要是先裂其通项公式。此类题弄主要适用于，分母成等差数列的形式。再如：1/2*4+1/4*6+1/6*8+……+1/2n(2n-2),并且分母的前后项能连上，即为了能相约掉提供条件。

4、倒序相加：适用于可求出a1+an的问题，范围比较窄。例：等差数列{an}共n项，前5项和为10，最后5项和为50，所有项的和为120，求n
这里因为等差数列的性质，可知5+50＝5（a1+an）,然后利用前n项和的第一个公式，很容易就可以求出项数。

5、此外还有通项化归：即先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

6、并项求和：例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
此时当然可以先求出奇数项和偶数项的和，再相减。
但更好的方法是：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

基本现在能遇到的这些就够了。其它雷同。

求通项：

累加、叠乘，你只要把等差数列与等比数列的通项公式推导“过程”弄明白，自然其它形式也能想到。
累加：列出式子后相加，同样的一项，一正一负；
叠乘：列出式子后相乘，同样的一项，一个是分母一个是分子。

昨天就打完了，结果中毒，全白打了。希望对楼主有所裨益。

参考资料：自己经验

Answer 2

裂项法
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。

一、基本概念
1、 数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列
2、 数列的项an与项数n
3、 按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列
4、 按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列
5、 数列的通项公式an
6、 数列的前n项和公式Sn
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项)
当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式： an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
16、等比数列中，若m+n=p+q，则 am·an=ap·aq
17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列
{an·bn}、{an/bn} 、{1/(an·bn)} 仍为等比数列。
20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；
四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

四、数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
24、分组法求数列的和：如an=2n+3n
25、错位相减法求和：如an=n·2^n
26、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an= n
28、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值.
(2)当 a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/1101236.htm

我讲的也不一定有上面得好，如果你真的想掌握好，那么你就应该静下心来认真看上面的内容，不要太浮躁。对了，多做基础题巩固，记住题目什么特征运用什么方法，然后再找难题做
要不没有经验看不出来！！！
我相信世上无难事，只怕有心人，这块“骨头”你能“啃”下来！

Answer 3

错位相减
a(n+1)=k*an
则令 s=a1+a2+...an;
后 同乘以k，得 k*s=k*a1+k*a2+...+k*an
由于 a(n+1)=k*an，所以相减得 ：
(1-k)*s=a1-k*a(n-1),求的 s;