如果函数f(x)在I上
一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下： 设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I； f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d， 也就是对任取的e="" |f(x)-f(t)|<="|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；" 则="" |f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e="" 2<d，那么="" 由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d="" |f(x)-f(t)|="|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|" 2+d="" |x-y|<d="" 2，那么="" |y-t|<d="" 且="" 2="d" |x-t|<d="" 对i上的点x和y，当满足="" ；="" |f(a)-f(b)| 0，存在d'=d/2，当|x-t|<d'，有 div="" 所以一致连续函数一定连续。<="" 即f(x)在点t连续；由于点t是在i上任意选取一点，f(x)在i上连续。="" ；="" |f(x)-f(t)|