三角形的五心及其几何性质，要有图片解释的。

Question

三角形的五“心”及其几何性质

Answer 1

5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线

  内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

  性质：到三边距离相等。

  外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

  性质：到三个顶点距离相等。

  重心：三条中线的交点。

  性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

  垂心：三条高所在直线的交点。

  性质：此点分每条高线的两部分乘积

  旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

  性质：到三边的距离相等。

  界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

  性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

  欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线

参考资料：http://baike.baidu.com/view/5670.htm

Answer 2

重心：三角形的三条中线的交点.
重心分三条中线的比例为1:2,到顶点的是2

外心：三角形三边垂直平分线的交点。
是三角形外接圆的圆心.

垂心：三角形三条高线的交点。

内心：三角形三内角平分线交的点。
是三角形内接圆的圆心。到三边的距离相等.

旁心：三角形一内角平分线和另外两角的外角平分线的交点。有三个。

Answer 3

一、三角形的五心定义：
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。
二、五心性质：
（一）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。
（二）外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).
5、外心到三顶点的距离相等。
（三）垂心的性质：
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.
（四）内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。
（五）旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。

Answer 4

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。