初中数学竞赛题

Question

1.梯形ABCD中，AD‖BC(AD＜BC)，AD=a，BC=b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为____．

2.

x+xy+y=1
x^2+ x^2y^2 +y^2=17
x=? y?

最好有过程，谢谢
最好有过程，谢谢

Answer 1

题1:
AD平行于BC 可知AE/BF=EP/BP=a/b 同理得EQ/QC=a/b
知PQ平行于BC PQ/BC=EP/EB
可解得PQ=ab/(a+b)
题2:
因为x+xy+y=1平方后把x^2+x^2y^2+y^2=17代入可得xy(x+y+1)=-8
设x+y=a,xy=b,则
a+b=1
b(a+1)=-8
解得a=3,b=-2或a=-3,b=4
再解出x=(3+√17)/2,y=(3-√17)/2
或x=(3-√17)/2,y=(3+√17)/2

Answer 2

2、因为x+xy+y=1平方后把x^2+x^2y^2+y^2=17代入可得xy(x+y+1)=-8
设x+y=a,xy=b,则
a+b=1
b(a+1)=-8
解得a=3,b=-2或a=-3,b=4
再解出x=(3+√17)/2,y=(3-√17)/2
或x=(3-√17)/2,y=(3+√17)/2

Answer 3

解1 （a+b)/4 同题可知PQ 都在中线上！ 且P，Q 分别在四边形AEFB，四边形EDCF的上下两边的中点连线上！
则 PQ= 1/2 中线 中线= (a+b)/2
解2 x+xy+y=1 两边同时平方得:
x^2+x^2y^2+y^2+2xy^2+2x^2y+2xy=1
联合题第二式可知 xy(x+y+1)=-8
设x+y=a,xy=b,则
a+b=1
b(a+1)=-8
解得a=3,b=-2或a=-3,b=4
代入题设可解得x=(3+√17)/2,y=(3-√17)/2
或x=(3-√17)/2,y=(3+√17)/2

Answer 4

PQ/a=PF/AF=BP/BE=1-PQ/b
所以 PQ/a=1-PQ/b
解得PQ=ab/(a+b)