过抛物线的焦点的直线结论

Question

如题所述

Answer 1

过抛物线的焦点的直线结论：过抛物线y2=2px(p 0)的焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,设|FA|=m,|FB|=n,O为原点,则有：x1x2=p2/4；y1y2=-p2；kOAkOB=-4；1/m+1/n=2/p。

抛物线焦点弦性质：焦点弦长就是两个焦半径长之和。

焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。

由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

当直线的斜率不为零，则直线被抛物线所截的弦长为弦的两段点横坐标加p。

公式介绍：

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。若直线AB的倾斜角为α，则｜AB|=2p/sin²α。y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴。

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。