线性代数 设方阵A满足A^2-A-2E=O,则(A+2E)^-1= 这题为什么不能

Question

线性代数 设方阵A满足A^2-A-2E=O,则(A+2E)^-1=
这题为什么不能写成A^2=A+2E
(A+2E)^-1=A^-2

Answer 1

你首先要证明A+2E可逆，这样（A+2E)^-1才有意义，你的写法首先要证明A可逆，那么A^-2才会有意义。
对于矩阵A，表达式A^-n定义为n个A^-1的乘积。
正解如下：A^2-A-2E=O，则A^2+2A-3A-2E=O
A(A+2E)=3A+2E=3(A+2E)-4E
(3E-A)(A+2E)=4E
[(3E-A)/4](A+2E)=E
按定义（A+2E)可逆，且（A+2E)^-1=（3E-A)/4追问

按什么定义可以知道(A+2E)可逆?A^-2为什么求不出它可逆?

追答

矩阵A可逆的定义是若存在矩阵B使得AB=E，则称A可逆，B为A的逆矩阵，记做A-1=B
A可逆你必须要证明吧
好好看书！

Answer 2

(A+2E)(A-3E)=A^2-A-6E=-4E,
故 (A+2E)^-1=-1/4(A-3E)