对数函数的导数公式

Question

如题所述

Answer 1

对数函数的导数公式是：\( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \)。
对数函数的定义域是所有正实数，即 \( x > 0 \)。然而，在解决涉及对数型复合函数定义域的问题时，除了确保 \( x > 0 \)，还必须确保底数 \( a \) 大于0且不等于1。例如，对于函数 \( y = \log_x(2x-1) \)，其定义域需满足 \( x > 0 \) 且 \( x \neq 1 \)。
对数函数的值域是实数集 \( \mathbb{R} \)，因为对数函数没有上界。
对数函数是一种以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。它是六类基本初等函数之一。
对数的定义是：如果 \( a^x = N \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)），则 \( x \) 称为以 \( a \) 为底 \( N \) 的对数，记作 \( x = \log_a N \)，读作 \( a \) 的 \( N \) 次幂的对数。
一般而言，函数 \( y = \log_a x \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）称为对数函数，即幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数的自变量是 \( x \)，且函数的定义域是 \( (0, +\infty) \)，即 \( x > 0 \)。它实际上是指数函数的反函数，可以表示为 \( x = a^y \)。因此，指数函数中对底数 \( a \) 的规定同样适用于对数函数。
在实际应用中，如果对数式的真数没有根号，只需确保真数大于零。如果真数中有根号，要求真数大于零的同时，还需保证根号内的式子大于或等于零（若为负数，则值为虚数）。底数必须大于0且不为1。对于普通对数式，当 \( a < 0 \) 或 \( a = 1 \) 时，会有相应的 \( b \) 值。但是，根据对数的定义，当 \( a = 1 \) 时，\( \log_a 1 \) 的值可以是所有实数。