已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2,过F2的直线与圆

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2,过F2的直线与圆x^2+y^2=b^2相切于点A,并与椭圆C交于不同两点P,Q,如图，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆离心率为

Answer 1

设圆x^2+y^2=b^2的切线l：mx+ny=b^2，其中m^2+n^2=b^2,①
l过焦点F2(c,0),∴cm=b^2,m=b^2/c,n^2=b^2(c^2-b^2）/c^2,②
依题意设P(m+h,n-hm/n),Q(m-2h,n+2hm/n),
P,Q在椭圆上，
∴(m+h)^2/a^2+(n-hm/n)^2/b^2=1,③
(m-2h)^2/a^2+(n+2hm/n)^2/b^2=1，④
③-④，h(6m-3h)/a^2+h(-6m-3hm^2/n^2)/b^2=0,h≠0，
∴2m(b^2-a^2)=h(b^2+a^2m^2/n^2),
把②代入上式，-2b^2*c=h[b^2+a^2b^2/(c^2-b^2)],
∴h=(b^2-c^2)/c,⑤,
注意到mh=n^2,
把②、⑤代入③，(2b^2-c^2)^2/(a^2c^2)=1,
∴(2a^2-3c^2)^2=a^2c^2,e=c/a,
两边都除以a^4,得(2-3e^2)=e^2,
∴9e^4-13e^2+4=0,0<e<1,
∴e^2=4/9,e=2/3.