天体运动中椭圆轨道上的能量怎么算

Question

如题所述

Answer 1

1/2（mv^2）-（Gm’m”）/r

考虑一有心力作用在一质点上，由极坐标运动方程得 F(r) == m d^2 r / dt^2 - m ω^2 r (1)

由角动量守恒定律得 m ω r^2 == L (2)

将(2)代入(1)，消去ω，得 F(r) == m d^2 r / dt^2 - L^2 / (m r^3) (3)

引入参数 u == 1 / r

则 dr / dt == dr / du * du / dθ * dθ / dt == - L / m * (du / dθ) (4)

则 d^2 r / dt^2 == - L^2 u^2 / m^2 * (d^2 u / dθ^2) (5)

将(5)代入(3)，则有

F(r) == - L^2 u^2 / m * (d^2 u / dθ^2) - L^2 u^3 / m (6)

此即比耐公式。

对于天体运动的特殊情况，有 F(r) == - G M m u^2 (7)

将(7)代入(6)，化简得

d^2 u / dθ^2 + u - G M m^2 / L^2 == 0 (8)

容易看出该方程是一简谐运动，其解为

u - G M m^2 / L^2 == (2 m E)^(1/2) / L * cos θ (9)

代入 u == 1 / r ， 得

r == pe / (1 + e cos θ) (10)

其中 e == L (2 m E)^(1/2) / (G M m^2) , p == L / (2 m E)^(1/2)

扩展资料：

椭圆轨道有两个焦点，中心的星体位于其中一个焦点之上，比如地球绕太阳的轨道就是椭圆形的，而太阳位于椭圆的一个焦点上，关于椭圆轨道有著名的开普勒三定律：

1、所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；

2、行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。

3、所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

参考资料来源：百度百科-椭圆轨道

Answer 2

1/2（mv^2）-（Gm’m”）/r