对于集合{1,2,3……2000},它有多少子集满足这一子集所有数之和能被五整？

Question

如题所述

Answer 1

对于集合{1, 2, 3, ..., 2000}，一共有2的2000次方个子集（包括空集和全集）。
为了确定这些子集中有多少个满足子集内所有数之和能被5整除，我们可以使用二进制表示法来表示每个子集。假设集合的元素总数为n，则从右向左数的第i位的二进制位为1表示选取了第i个数字，而为0表示未选取。
对于能被5整除的子集，其中的每个数字的和模5等于0。根据模5的性质，只需考虑原集合中每个数字模5的余数。
我们可以对于每个数字进行分类：
1. 余数为 0：有 2000/5 = 400 个（400个数字模5结果为0）。
2. 余数为 1：有 2000/5 = 400 个（400个数字模5结果为1）。
3. 余数为 2：有 2000/5 = 400 个（400个数字模5结果为2）。
4. 余数为 3：有 2000/5 = 400 个（400个数字模5结果为3）。
5. 余数为 4：有 2000/5 = 400 个（400个数字模5结果为4）。
对于每个数字而言，它可以选择出现在子集中或者不出现在子集中，所以满足条件的子集数为：
(2的400次方) * (2的400次方) * (2的400次方) * (2的400次方) * (2的400次方) = 2的2000次方
因此，满足子集内所有数字和能被5整除的子集个数为2的2000次方。