定积分 求解问题！ 附图！！求解 求大神！

Question

如题所述

Answer 1

两边对x求导：
f'(x)=e^x+xf(x)-∫(0→x)f(t)dt-xf(x)=e^x-∫(0→x)f(t)dt
设∫(0→x)f(t)dt=F(x)
那么F''(x)+F(x)=e^x
通解为y1=C1sinx+C2cosx
设特解为y*=(Ax+B)e^x
所以y*'=Ae^x+(Ax+B)e^x=(Ax+A+B)e^x
y*''=Ae^x+(Ax+A+B)e^x=(Ax+2A+B)e^x
所以2Ax+2A+2B=1
解得A=0,B=1/2
所以y(=F(x))=y1+y*=C1sinx+C2cosx+e^x/2
所以f(x)=F'(x)=C1cosx-C2sinx+e^x/2
因为f(0)=e^0=1
所以C1=1/2
又因为F(0)=0，所以C2=-1/2
所以f(x)=(cosx+sinx+e^x)/2追问

为什么这里《那么F''(x)+F(x)=e^x》有二阶的？

追答

因为f(x)=F'(x)，所以f'(x)=F''(x)

Answer 2

据说，这种问题都是先两边求导。。。恩，我确定。。。