如图，在圆o中，直径AB为10cm，AC为6cm，∠ACB的平分线交圆o于点D，求弦BC和∠ADB的值

Question

是角ABD的值

Answer 1

解：如图，连接AD。

      弦长=直径×圆周角的正弦值，即 L=D·sin45°=10×√2/2=5√2(cm)；

     ∠ADB是直径AB所对的圆周角，即∠ADB=90°。

追问

请问角ABD怎么求

追答

∠ABD的求解，在本题中不需要用到“余弦定理”亦或“正弦定理啦”，直接求解就能够得出答案。方法有多种，在此列举2种——见上图：
【介绍要用到的 圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。】
【中学时期，圆周角定理的推论有3个：
一、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
二、半圆（或说成 直径）所对的圆周角是直角。
三、90°的圆周角所对的弦是直径。】
方法1、连接DO。
∵ ∠ACB是⊙O的直径AB所对的圆周角，∴ ∠ACB=90°；
∵ CD是∠ACB的平分线，∴ ∠BCD=45°；
∵ ∠BOD是圆周角∠BCD的同弧BD所对的圆心角，∴∠BOD=2∠BCD=90°；
∵ OB=OD=R，∴ △BOD是等腰直角三角形；
∴ ∠OBD=45°，亦即∠ABD=45°。
方法2、连接AD。
∵ ∠ADB是⊙O的直径AB所对的圆周角，∴ ∠AB=90°，∴ △ABD是直角三角形；
∵ ∠ACB是⊙O的直径AB所对的圆周角，∴ ∠ACB=90°；
∵ CD是∠ACB的平分线，∴ ∠ACD=∠BCD=45°，
∴ AD=D·sin∠ACD=D·sin∠BCD=BD=D·sin45°=10×√2/2=5√2，
∴ △ABD是等腰直角三角形，【验证：AB²=10²=(5√2)²+(5√2)²=AD²+BD²，无误】
∴ ∠ABD=45°。

Answer 2

圆心在内接三角形的一条边上这个三角形就是直角三角形，bc=8cm
同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
连结oc，oc=ob=5,bc=8.用余弦定理角COB能求出来了。角cdb就是角cob的一半。
角DCB=45度，那角CBD就出来了，减去角ABC的30度，就求出角ABD追问

可我们没学过余弦定理，能用其他方法吗？

追答

cob是等腰三角形，角obc是arcsin(3/5)，那角ocb也是arcsin(3/5)，角cob是180-2arcsin(3/5)，那角CDB是90-arcsin(3/5)度