第1个回答 2014-01-15
由于柱面、锥面、任意一条曲线的切线曲面是直纹面，所以直纹面的参数方程为r ⃗ ﹦(a(u)) ⃗+ v(b(u)) ⃗.(1)因为柱面的(b(u)) ⃑﹦常向量，所以.则(b(u)) ⃗^＇﹦0 ⃑（(a(u)) ⃗^＇,(b(u)) ⃗ ，(b(u)) ⃗^＇）﹦（(a(u)) ⃗^＇＇×b((u)) ⃗ ）(b(u)) ⃗^＇﹦0 ⃗故柱面是可展曲面.(2)锥面的腰曲线为一点，导线也为一点，故(a(u)) ⃑﹦常向量，所以(a(u)) ⃗^＇﹦0 ⃗.从而（(a(u)) ⃗^＇,(b(u)) ⃗ ，(b(u)) ⃗^＇）﹦(a(u)) ⃗∙（b((u)) ⃗ ×(b(u)) ⃗^＇）﹦0 ⃗故锥面是可展曲面.(3)任意一条曲线的切线曲面的切线(a(u)) ⃗^＇ ∥(b(u)) ⃑ ，故(a(u)) ⃗^＇×(b(u)) ⃗ ﹦0 ⃗，从而（(a(u)) ⃗^＇,(b(u)) ⃗ ，(b(u)) ⃗^＇ ）﹦0 ⃗，任意一条曲线的切线曲面是可展曲面.：对于可展曲面有（(a(u)) ⃗^＇,(b(u)) ⃗ ，(b(u)) ⃗^＇）﹦0 ⃗，取腰曲线为导线，即此时有(a(u)) ⃗∙(b(u)) ⃗﹦0 ⃗(1)当(a(u)) ⃗^＇﹦0 ⃗时，(a(u)) ⃗﹦常向量这表示为腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合.我们得到以所有母线上公共的腰点为顶点的锥面.(2)当(a(u)) ⃗^＇≠0 ⃗时，由条件（(a(u)) ⃗^＇,(b(u)) ⃗ ，(b(u)) ⃗^＇）﹦0 ⃗，(a(u)) ⃗∙(b(u)) ⃗﹦0 ⃗并且|(b(u) ) ⃗ |=1，(b(u)) ⃗⊥(b(u)) ⃗^＇得到(a(u)) ⃗^＇ ∥(b(u)) ⃗ .这时得到切于腰曲线的切线曲面.(3)当时(b(u)) ⃗^＇﹦0 ⃗，(b(u)) ⃗﹦常向，这表示柱面.