椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的一个焦点F1（-2，0），右准线方程x=8，（1）求椭圆C的方程；

Question

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的一个焦点F1（-2，0），右准线方程x=8，（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P,求PM/AP的取值范围
（3）设圆Q：(x-t)²+y²=1（t＞4）与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS，BT,切点为S,T,求BS*BT的最大值
主要是第三问，回答给财富哦

Answer 1

解：（1）由题意得，c=2，a2/c=8得，a2=16，b2=12，
∴所求椭圆方程为x2/16+y2/12=1；
（2）设P点横坐标为x0，则PM/AP=[8-x0]/[x0+4]=12/[x0+4]-1，
∵-4＜x0≤4，∴PM/AP=[8-x0]/[x0+4]=12/[x0+4]-1≥1/2．
∴PM/AP的取值范围是[1/2，+∞)；（9分）
（3）由题意得，t=5，即圆心Q为（5，0），
设BQ=x，则
BS•BT=|BS|•|BT|cos∠SBT
=|BS|•|BT|(1-2sin^2∠SBQ)
=(x^2-1)[1-2(1/x)^2]
=x^2+2/x^2-3，
∵1＜BQ≤9，即1＜x≤9，∴1＜x2≤81，
易得函数y=x2+2/x2在(1，根号 2)上单调递减，在(根号 2，81]上单调递增，
∴x2=81时，(BS•BT)max=6320/81．

Answer 2

椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的一个焦点F₁(-2，0)，右准线方程x=8；
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P,求PM/AP的取值范围
(3)设圆Q：(x-t)²+y²=1（t＞4）与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的
切线BS，BT,切点为S,T,求BS•BT的最大值
解:(1)。c=2；右准线x=a²/c=a²/2=8，故a²=16，b²=a²-c²=16-4=12，故椭圆方程为x²/16+y²/12=1；
(2)。A(-4，0)；M(8，n)；设P(x，y)；则u=PM/AP=MP/PA=(8-x)/(x+4)，其中-4<x≦4；
(x+4)u=8-x，(u+1)x=8-4u，故得x=(8-4u)/(u+1)；P在椭圆上，故-4<x≦4，于是得：
-4<(8-4u)/(u+1)≦4；即有：
(8-4u)/(u+1)>-4..........(1)；(8-4u)/(u+1)≦4...........(2)；
解此不等式组：
由(1)得(8-4u)/(u+1)+4=12/(u+1)>0，故得u>-1............①
由(2)得(8-4u)/(u+1)-4=(4-8u)/(u+1)=-8(u-1/2)/(u+1)≦0，
即(u-1/2)/(u+1)≧0，故得u<-1或u>1/2.............②
①∩②={u∣u>1/2}，这就是u=PM/AP的取值范围。
(3)。园Q：(x-t)²+y²=1，t>4，园心Q(t，0)，半径r=1，与椭圆有且只有一个公共点，故
园Q与椭圆C外切，t=5，即园的方程为(x-5)²+y²=1；Q(5，0)；
设B(4cost，2(√3)sint)；∣BS∣=∣BT∣；
∣BS∣²=∣BQ∣²-r²=(4cost-5)²+12sin²t-1=16cos²t-40cost+25+12sin²t-1
=4cos²t+12(cos²t+sin²t)-40cost+24=4cos²t-40cost+36
=4(cos²t-10cost)+36=4(cost-5)²-64；0≦t≦2π；
BS•BT=∣BS∣∣BT∣cos∠SOT=∣BS∣²cos∠SOT=[4(cost-5)²-64]cos∠SOT；
其中∠SOT=2∠SOQ，2arcsin(1/9)<∠SOQ≦π/2；故2arctan(1/9))≦2∠SOQ≦π；
观察几个关键的点：
当B与椭圆的左顶点重合时，t=π，BS•BT=(4×36-64)cos[2arcsin(1/9)]=80×0.9753=78；
当B与椭圆右顶点重合时，t=0，BS•BT=0；
当B与椭圆上顶点重合时，t=π/2，sin∠SOQ=1/√(25-12)=1/√13，∠SOQ=16.1º，
2∠SOQ=32.2º；cos[2∠SOQ]=cos32.2º=0.8462，故此时BS•BT=(100-64)×0.8462=30.46；
故BS•BT的最大值=78.此时B点与椭圆的左顶点重合。