椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点，已知向量PF1*向

Question

（接上）PF2的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。
不要只写思路,解题过程要详细,还要给出准确答案.谢谢!

Answer 1

解:
[1]利用椭圆的参数方程
设P(acosθ,bsinθ)，F1(-c,0) ,F2(c,0)
则：PF1*PF2
=(-c-acosθ,-bsinθ)*(c-acosθ,-bsinθ)
=(acosθ+c)(acosθ-c)+(bsinθ)^2
=a^2cos^2(θ)-c^2+b^2[1-cos^2(θ)]
=(a^2-b^2)cos^2(θ)+(b^2-c^2)
则当cos^2(θ)=1时，PF1*PF2取最大值=a^2-c^2=3
当cos^2(θ)=0时,PF1*PF2取最小值=b^2-c^2=2
联立a^2=b^2+c^2得：a^2=4,b^2=3
则椭圆C：x^2/4+y^2/3=1

[2]证明：直线L过定点(2/7,0)
设M(x1,y1)N(x2,y2)
则以MN为直径的圆方程：
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
由于C的右顶点A(2,0)在圆上
则：(2-x1)(2-x2)+y1y2=0
x1x2+4-2(x1+x2)+y1y2=0 -----(1)
由于M,N在直线L上
则：y1=kx1+m,y2=kx2+m
代入(1)得：
x1x2+4-2(x1+x2)+(kx1+m)(kx2+m)=0
(1+k^2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+(m^2+4)=0 ----(2)

L与C联立得：
3x^2+4(kx+m)^2=12
(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0
则：x1+x2=-8km/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)
代入(2)得：
[(1+k^2)(4m^2-12)]/(3+4k^2)+[(mk-2)(-8km)]/(3+4k^2)+m^2+4=0
整理得：
4k^2+16km+7m^2=0
(2k+m)(2k+7m)=0
则：m=-2k 或 m=-2k/7
又因为m=-2k时,L:y=kx+m=k(x-2)恒过C的右顶点A(2,0)
同时已知L与C交点M、N不是左右顶点
故m=-2k舍去
则：m=-2k/7
L:y=kx-2k/7=k(x-2/7)
即直线L过定点(2/7,0)