两个正态分布相互独立是两个正态分布的线性函数也是正态分布什么条件

Question

为什么说判断正态分布的函数是否服从正态分布要看两个函数是否独立或者是否服从二维正态分布？两个正态分布相互独立和他们服从二维正态分布之间有什么关系？

Answer 1

两个独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布。

这是二维正态分布的边缘分布(不需要独立)的线性组合服从正态分布的特殊情况。

因为若X，Y服从相互独立的正态分布，则(X，Y)服从二维正态分布(密度函数为fX(x)·fY(y))。

若没有独立或服从二维正态分布这样的条件，则可以有下面这样的反例：

设X服从标准正态分布，Y服从与之独立的两点分布：P(Y = 1) = 1/2, P(Y = -1) = 1/2。

则XY与|X|·Y都服从标准正态分布，但二者的和并不服从正态分布(取0的概率为1/2)。

扩展资料：

两个变量之间存在一次函数关系，就称它们之间存在线性关系。正比例关系是线性关系中的特例，反比例关系不是线性关系。

更通俗一点讲，如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标，其图象是平面上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。

在高等数学里，线性函数是一个线性映射，是在两个向量空间之间，维持向量加法与标量乘法的映射。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形。

参考资料来源：百度百科--线性函数

参考资料来源：百度百科--正态分布

Answer 2

两个独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.
这是二维正态分布的边缘分布(不需要独立)的线性组合服从正态分布的特殊情况.
因为若X, Y服从相互独立的正态分布, 则(X,Y)服从二维正态分布(密度函数为fX(x)·fY(y)).

若没有独立或服从二维正态分布这样的条件, 则可以有下面这样的反例:
设X服从标准正态分布, Y服从与之独立的两点分布: P(Y = 1) = 1/2, P(Y = -1) = 1/2.
则XY与|X|·Y都服从标准正态分布, 但二者的和并不服从正态分布(取0的概率为1/2).本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

画两个图可以看出，如果两个正态分布之间不独立，也就是说两者之间相互影响，那么最后两分布的线性函数就不会是一个规则的正态分布图像，从反面看，如果已知某二维正态分布，求两分布是否独立，答案是否定的，原理同上。希望可以帮到楼主，望采纳。

Answer 4