高等数学微分学--中值定理的证明问题

Question

如题所述

Answer 1

对e^(-x)f(x)与e^(-x)分别在[a,b]上使用拉格朗日中值定理。

证明过程：
函数e^(-x)f(x)与e^(-x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ,η∈(a,b)，使得
e^(-b)-e^(-a)=-e^(-ξ)(b-a)。
e^(-b)f(b)-e^(-a)f(a)=e^(-η)(f'(η)-f(η))(b-a)，即e^(-b)-e^(-a)=e^(-η)(f'(η)-f(η))(b-a)。
两个式子相除得，e^(-η)(f'(η)-f(η))=-e^(-ξ)，此即f(η)-f'(η)=e^(η-ξ)。

Answer 2

题目中没有说明ζ≠η，如果能证明
存在ζ=η∈（a，b）满足上式也就证明出来了

下面试证f(η)-f'(η)=1
构造函数F(x)=e^(-x)[f(x)-1]
F(a)=F(b)=0
所以，存在η∈（a，b） 使得F‘(η)=0
即 e^(-x)【f(η)-f'(η)-1】=0，
所以 f(η)-f'(η)=1
即得证