对e^(-x)f(x)与e^(-x)分别在[a,b]上使用拉格朗日中值定理。
证明过程:
函数e^(-x)f(x)与e^(-x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ,η∈(a,b),使得
e^(-b)-e^(-a)=-e^(-ξ)(b-a)。
e^(-b)f(b)-e^(-a)f(a)=e^(-η)(f'(η)-f(η))(b-a),即e^(-b)-e^(-a)=e^(-η)(f'(η)-f(η))(b-a)。
两个式子相除得,e^(-η)(f'(η)-f(η))=-e^(-ξ),此即f(η)-f'(η)=e^(η-ξ)。
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