高等代数 浙大2002卷 第九题 求解

Question

设 O是维线性空间v的线性变换，O 在V的某组基下的矩阵是 A，用KER O表示 O的核，O(V) 表示O的值域。求证：秩(A^2)=秩(A)的充要条件是V等于O的值域和核的直和

证明必要性即可：即从秩(A^2)=秩(A)推出“V等于O的值域和核的直和”

Answer 1

首先，对V中任意X，X=AX+(X-AX), 则AX是值域中向量. 由已知A^2=A, 所以A(X-AX)=AX-A^2X=AX-AX=0，说明X-AX是核的向量，因此V=O的值域和核的和；
又由维数公式dimV=dimO的值域+dimO的核；
因此V等于O的值域和核的直和。追问

主要不明白A^2=A是怎么推来的

追答

啊，很抱歉，题目看岔了。

这题的解答可以参考http://gdjpkc.xmu.edu.cn/FlashShow.aspx?cID=43&dID=425&lID=1129 中的第8题。

Answer 2

敬请采纳！