为什么定积分可以求面积？

Question

不定积分是用来求原函数的，对一个函数求他的原函数就能求出他所围成的面积。为什么会这样。好比速度和时间的函数，对他求积分就变成了路程时间函数，然后两端相减也变成了速度时间围成的面积，实践例子说的通，但我不是知道这个理论基础是怎么样的，什么分成N部分之类的，不明白这个跟积分有什么关系。

Answer 1

1、积分的意思是累积，是accumulation，是summation，是integration，也就是
累积、总和、整合的意思。
2、从定积分的定义来看，∫f(x)dx = lim ∑f(xi)△x，原意应该就是将曲线下的面积
分割成无数的细高的矩形，矩形的底宽是△x，当分割趋向于无穷多份时，△x
变成了dx，△x是有限的小，dx表示的是无限的小，而f(x)则变成了底宽为无穷
小的矩形的高度，f(x)dx就是它的面积了。
3、Lebniz当初的研究，根本没有微分、导数的概念，是完全独立的研究，发表的
研究结果，也比Newton早，为此还成了国际公案，由于牛顿的名气，使得太多
的人附趋牛顿，认为微积分的发明权归因于牛顿。所以，积分可以找原函数，
可说是lenbiz歪打正着的结果。
4、至于积分的意义，事实上有两种明显的运用，只是一般的人所理解的积分，
只是以为积分就是可以计算面积、体积、位移、电量、热能、、、、、之类的
广延量extensity；而在国外的教科书上，主要是科技教科书上，常常专门讲解
superposition，我们只是眼高手低地翻译成叠加原理，对superposition的理解
停留在自圆其说的层次上，其实这一类的intensity的积分，是完全平分秋色的。
可惜的是，很多人学完微积分，并没有能make sense。

Answer 2

把被积函数在积分区间上无限分割，那么在很小的自变量增量的情况下，函数值可认为近似不变，比如速度时间函数图像，在微分区间上可认为是匀速运动，这样的话，面积（面积=速度*时间）就是路程的数值了。一句话说，就是曲线的局部线性化处理。至于，定积分可求面积，是有它本身的定义决定的。，即∫f(x)dx = lim ∑f(xi)△x。f(xi)△x的含义即为面积。