线性代数：对应不同特征值的特征向量正交的矩阵满足什么条件？实对称阵还是什么？？

Question

如题所述

Answer 1

正规矩阵A满足：
1. A' * A = A * A'
2. A合同于对角矩阵，即存在酉阵Q使得：Q' * A * Q = D，Q' * Q = E（单位阵）
P.S：实对称也好，正交阵也好，都是实域中的正规矩阵。追问

哦哦，谢谢你的耐心解答。我可能没说清问题。我想问：假如一个矩阵A的对应其不同特征值的特征向量相互正交，则A是个什么类型的矩阵一定是个实对称阵吗？or是什么其它类型的矩阵？

追答

A只是一般的方阵。
比如3阶矩阵：A = [1 1 0
0 1 0
0 0 2];
1. 特征值为1的有2个，且v1 = [1 0 0]^t为其对应的右特征向量；
2. 特征值为2的有1个，且v2 = [0 0 1]^t为其对应的右特征向量；
3. 很明显v1和v2是正交的，但A是一个秩亏矩阵（Defective Matrix）；
4. 虽然A看上去是上三角阵，不过你可以对A进行正交变换：Q * A * Q' = B，得到的方阵B也是秩亏矩阵，且对应1和2的右特征向量分别为q1 = Q*v1，q2 = Q*v2，q1和q2也是正交的。
综上所述，具有已知条件的矩阵不具备任何特殊性质。