正交矩阵的定义：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
正交矩阵和实对称矩阵的区别：
1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。
2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，满足U*U’=U’*U=I
对称变换e在规范正交基下的矩阵是对称矩阵，满足A’=A
3、 转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵。
扩展资料：
正交矩阵的性质：
1、方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组。
2、 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基。
3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量。
4、 A的列向量组也是正交单位向量组。
实对称矩阵的性质：
1.实对称矩阵特征值为实数。
2..实对称矩阵一定有N个线性无关的特征向量。
3..实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。
参考资料来源：百度百科-正交矩阵
参考资料来源：百度百科-实对称矩阵
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第1个回答 2023-10-09
正交矩阵（Orthogonal Matrix）是一个非常重要的数学概念，特别在线性代数和线性变换的领域中扮演关键角色。以下是正交矩阵的定义和一些重要性质：
定义：一个方阵（即行数等于列数）如果满足以下条件，就称为正交矩阵：
1.其中的每一列都是单位向量（长度为1的向量）。
2.矩阵的每一列都与其他列正交（垂直），也就是说，任意两列的点积（内积）为0。
3.正交矩阵是一个可逆矩阵，其逆矩阵等于其转置。
形式化地表示，对于一个正交矩阵Q，满足以下条件：
4.$Q^TQ = I$，其中$Q^T$是Q的转置，I是单位矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：
5.保持向量长度和角度不变：如果你将一个向量乘以正交矩阵，那么向量的长度和与其他向量之间的夹角将保持不变。这是因为正交矩阵的列是单位向量，因此不会改变向量的长度，而正交性质确保了角度的不变性。
6.行列式的值为±1：正交矩阵的行列式的绝对值等于1。这是因为行列式的值等于变换前后空间的体积比例，而正交矩阵的作用是保持空间的体积不变。
7.正交矩阵的逆矩阵是其转置：如果Q是正交矩阵，那么$Q^{-1} = Q^T$。
8.正交矩阵的行和列都是正交基：正交矩阵的列是正交的，因此它们可以用作向量空间的正交基。同样，矩阵的行也是正交基。
正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、线性变换、信号处理、图像处理、机器学习等。它们在旋转、坐标变换和正交投影等操作中非常有用，因为它们保持向量的长度和角度，因此可以保持重要的几何性质。
定义：一个方阵（即行数等于列数）如果满足以下条件，就称为正交矩阵：
1.其中的每一列都是单位向量（长度为1的向量）。
2.矩阵的每一列都与其他列正交（垂直），也就是说，任意两列的点积（内积）为0。
3.正交矩阵是一个可逆矩阵，其逆矩阵等于其转置。
形式化地表示，对于一个正交矩阵Q，满足以下条件：
4.$Q^TQ = I$，其中$Q^T$是Q的转置，I是单位矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：
5.保持向量长度和角度不变：如果你将一个向量乘以正交矩阵，那么向量的长度和与其他向量之间的夹角将保持不变。这是因为正交矩阵的列是单位向量，因此不会改变向量的长度，而正交性质确保了角度的不变性。
6.行列式的值为±1：正交矩阵的行列式的绝对值等于1。这是因为行列式的值等于变换前后空间的体积比例，而正交矩阵的作用是保持空间的体积不变。
7.正交矩阵的逆矩阵是其转置：如果Q是正交矩阵，那么$Q^{-1} = Q^T$。
8.正交矩阵的行和列都是正交基：正交矩阵的列是正交的，因此它们可以用作向量空间的正交基。同样，矩阵的行也是正交基。
正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、线性变换、信号处理、图像处理、机器学习等。它们在旋转、坐标变换和正交投影等操作中非常有用，因为它们保持向量的长度和角度，因此可以保持重要的几何性质。
第2个回答 2023-10-08
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示"矩阵A的转置矩阵"）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵，实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示"矩阵A的转置矩阵"）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵，实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
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