过点(1,2,3),且与向量(4,9,6)垂直的平面方程为

Question

证明:曲面xyz=a^3,(a>0)的切平面与坐标围成的四面体的体积是一常数.

Answer 1

与向量(4,9,6)垂直的平面方程为
4x+9y+6z=C
过点(1,2,3)
4+18+18=C
C=40
4x+9y+6z=40

xyz=a^3
(m,n,p)是xyz=a^3上一点
过该点的切面的法向量为
(1/m,1/n,1/p)
过该点的切面为
(x-m)/m+(y-n)/n+(z-p)/p=0
x/m+y/n+z/p=3

与x交点为
3m
与y交点为
3n
与z交点为
3p
6V=27mnp=27a^3
V=(9/2)a^3