为什么连续函数不一定存在定积分和不定积分?

Question

如题所述

Answer 1

=[1/(a-b)][ln|(x-a)/(x-b)|+C

∫1/{(x-a)(b-x)}dx=[1/(a-b)]∫[1/(x-a)-1/(x-b)]dx

=[1/(a-b)][ln|x-a|-ln|x-b|]+C

=[1/(a-b)][ln|(x-a)/(x-b)|+C

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

不定积分的意义

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明。