（一）函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。 （二）函数的作图1、描点作图：对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是：①确定函数的定义域；②列表；③描点；④连线成图。2、特征值作图：对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有：最值，零点，对称轴等。3、对称变换作图：对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。设函数y=f（x），则有：①关于点（a，b）对称的函数为：2b－y=f（2a－x）即y=2b－f（2a－x）；特别地，关于原点对称的函数为y=－f（－x）；②关于直线x=a对称的函数为：y=f（2a－x）；特别地，关于y轴对称的函数为y=f（－x）；③关于直线y=b对称的函数为：2b－y=f（x）即y=2b－f（x）；特别地，关于x轴对称的函数为y=－f（x）；4、平移变换作图：对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。平移的规律：向坐标轴的正向平移m（>0）时，将对应的坐标减去m；向坐标轴的负向平移n（>0）时，将对应的坐标加上n。如将y=f（x）向下平移2个单位，则得到y+2=f（x）即y=f（x）－2；将y=f（x）向左平移3个单位，则得到y=f（x+3）的图像。5、伸缩变换作图：对由基本初等函数伸缩得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的伸缩变换得到所求函数的图像。伸缩变换的规律：沿坐标轴方向伸长m（>1）倍时，在对应坐标前乘以。如将y=f（x）沿水平方向伸长2倍，则得到y=f（）.6、翻折变换作图：一般属于局部对称变换作图。 （三）函数图像的应用1、利用函数图像，研究函数的几何性质，如单调性，周期性，奇偶性，最值，零点，值域及定义域，对称性等；2、利用函数图像进行数形结合的思想方法解题，将代数问题转化为平面解析几何问题处理。 四、考点与典型例题考点一 函数的图像例1、（2008全国I卷） 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车。若把这一过程中汽车的行驶路程s看成是时间t的函数，则其图像可能是（ ）【分析】首先明确路程一直在增加，所以D明显错误；汽车开始时速度较小，在单位时间内路程增加得慢，匀速行驶时路程呈直线递增，减速过程中路程增加又变慢，故选A。【解答】A。【点评】本题考查对图像变化趋势的实际意义的理解。 考点二 描点作图例2、画出函数的图像。【分析】要注意到定义域是{x|x≥0}，列表描点时横坐标只取非负数。【解答】函数的定义域为{x|x≥0}，列表如下：x01234y012在坐标系中描点并连线成图：【点评】利用描点法作图时，一要注意定义域，二要注意取“足够”多的点，过少难以确定图像的形状，过多则会给作图带来麻烦，三要注意连线时应以光滑的曲线连接。 考点三 特征值作图例3、作函数y=x2－2x+3的图像。【分析】这是一条开口向上的抛物线，所以要画出其图像，只需确定其最低点、与坐标轴交点及对称轴即可。【解答】由y=x2－2x+3=（x－1）2+2，故该函数的对称轴方程为x=1，最低点坐标为P（1，2），与y轴交点为M（0，3）在坐标系中画出图像如下：【点评】对一次函数、二次函数、反比例函数等大家都比较熟悉的简单函数的作图，我们均可采用特征值作图法，由最值点、零点、与y 轴交点、对称轴等特征值确定图像的大致位置和形状。 考点四 平移变换作图例4、作出函数的图像。【分析】若用描点作图法，需要求出定义域以及单调性；若考虑到式子的特征，可以分离变量，将自变量集中到分母上，联系反比例函数平移去解决。【解答】因为，故可将的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到的图像。【点评】认真分析函数的形式特征，联系基本的初等函数，寻找它们之间的异同点。 考点五 伸缩变换作图例5、由y=f（x）的图像经怎样的变换可以得到y=2f（3x）的图像？【分析】将y=2f（3x） 化为，比较，比较变量的变化，从而有：【解答】先保持y=f（x）的纵坐标不变，将每一点的横坐标变为原来的；然后保持横坐标不变，将每点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到y=2f（3x）的图像。【点评】对伸缩变换，主要考虑变换前后变量系数的变化。 考点六 翻折变换作图例6、画出函数y=|x+1|的图像。【分析】当x+1≥0时，函数y=x+1的图像和y=|x+1|的图像一致；当x+1<0时，y=|x+1|=－（x+1），其图像与y=x+1的图像关于x轴对称。【解答】先作出函数y=x+1的图像，然后保持x+1≥0的图像不变，将x+1<0时的y=x+1的图像沿x轴对称地翻折，即可得到y=|x+1|的图像。【点评】翻折变换一般只需进行局部对称变换，所以需要研究是哪个区间上的对称变换。 考点七 综合作图：有时将几种变换手法结合起来，一般地，先考虑平移变换，再考虑伸缩变换。例7、由函数y=f（x）的图像经怎样的变换可以得到y=2f（3x－4）－5的图像？【分析】【解答】先将y=f（x）的图像向右平移4个单位，再向下平移个单位；再将每一点的横坐标变为原来的，每一点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到y=2f（3x－4）－5的图像。【点评】对涉及两种及两种以上变换手法的函数作图，一般地，可以先将函数式整理成变换前函数式的形式，然后考察相应位置的变量间的变化关系。如本题将函数式变形成后，就可以看出：，从而可以清晰地知道变换关系。 考点八 利用函数图像研究函数性质例8、已知函数的图像如图所示，则函数的解析式是 。【分析】由图像可知，这是一个分段函数，所以在探求解析式时应分区间来探究。【解答】当x∈［－1,0］时，y=－x－1；当x∈（0,1）时，y=x。故【点评】由函数图像探求其解析式一般都是在明确函数类型的前提下进行，可以先设出这种函数的一般式，然后通过特殊点坐标代入的方法确定系数的值。 考点九 利用数形结合的思想方法解题例9、试证明：如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a－x），则f（x）的图像关于直线x=a对称。【分析】证明函数图像的对称性，一般地可以转化为图像上点的对称性来处理；本题证明f（x）的图像关于直线x=a对称，可在f（x）的图像上任取一点P，证明P关于直线x=a的对称点Q也在该函数图像上即可。【解答】证明：在y=f（x）的图像上任取一点P（x,y），P点关于x=a的对称点为Q（2a－x,y），则f（2a－x）=f［a+（a－x）］=f［a－（a－x）］=f（x），故Q点坐标也满足y=f（x），故Q点也在该曲线上，因此可得：f（x）的图像关于直线x=a对称。【点评】结合图形进行直观感知，一方面有助于理解和记忆函数的性质，另一方面有助于得到解题思路，获得快捷的解题方法。 五、本讲涉及的主要数学思想方法1、数形结合的思想方法：此处所指数形结合的方法指的是在“数（式）”与“形”之间建立联系，利用“形”的直观性来解决“数（式）”的问题。本讲内容蕴含着丰富的数形结合的可能性，处理时应注意数形联系，借助函数图像进行解题。2、化归的思想：借助数形结合，把有关数（式）的特征研究化归为形的几何特征的研究。3、几何变换的思想方法：本讲对中学数学中常见的几何图形变换的方法均进行了系统的学习，包括平移、伸缩、对称和翻折四种变换手法，学习中要善于利用这几种变换手法，将复杂函数的作图问题转化为基本初等函数的作图问题。 【模拟试题】一、选择题1、下列图形中不可能是函数图像的有（ ）A B C D2、向高为H的容器注水，注满为止，则注水量V与水深h的函数关系图像是（ ）3、y=ax2+bx+c与y=ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图像是（ ）4、下列四个图形中，能表示以［－1，1］为定义域，以［0，1］为值域的函数关系的是（ ）A、 B、C、 D、5、由函数f（x）=x2－1经怎样的平移可以得到函数f（x）=x2+2x+3的图像（ ）A、向左平移1个单位，向下平移3个单位；B、向左平移1个单位，向上平移3个单位；C、向右平移1个单位，向下平移3个单位；D、向右平移1个单位，向上平移3个单位；6、关于函数y=|x－2|+2的对称性的描述，正确的是（ ）A、关于x轴对称 B、关于y轴对称C、关于x=2对称 D、关于y=2对称7、已知函数y=f（x）的图像经过P（1，2），则函数y=f（x－2）的图像必经过（ ）A、（1，2） B、（2，2） C、（3，2） D、（4，2） 二、填空题8、（2004.上海）设函数f（x）的图像关于原点对称，其定义域为［－5，5］，若当x∈［0,5］时，f（x）的图像如图所示，则不等式f（x）<0的解集是 。9、已知对一切x∈R，都有f（2+x）=f（2－x），且方程f（x）=0有五个不同的根，这五个根的和为 。 三、解答题10、试讨论函数的图像与函数的图像的关系。11、下列函数的图像可由y=x2的图像经过怎样的“伸缩变换”而得到？①y=x2 ②y=4x212、画出下列函数的图像。① ②13、（2000.上海.文）已知函数f（x）=x2+2ax+2,x∈［－5,5］.①当a=－1时，求函数f（x）的最大值和最小值。②求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间［－5，5］上是单调函数。 统计学 中学不要求做深入的 探索
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