数学问题：X〉0，求证 1／（X+1)〈ln(x+1)-lnx〈1／X 用拉格朗日证明。

数学问题：X〉0，求证 1／（X+1)〈ln(x+1)-lnx〈1／X
用拉格朗日证明。

推荐答案 2013-03-01

解：在（0，＋∞）上任意取定一区间（x，x＋1）
构造函数f（x）＝lnx.，显然f（x）在（x，x＋1）上必连续，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈（x，x＋1），
使得f（x＋1）－f（x）＝f'（ξ）（x＋1－1）＝f'（ξ）
又f'（x）＝1/x，所以f'（ξ）＝1/ξ.
因此f（x＋1）－f（x）＝f'（ξ）就化为
ln（x＋1）－f（x）＝1/ξ.①
因为ξ∈（x，x＋1）
∴x＜ξ＜x＋1，
∴1/(x＋1)＜1/ξ＜1/x.将①式带入得
1/（x＋1）＜ln(x＋1)－lnx＜1/x.
原式得证.

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其他回答

第1个回答 2013-03-01

另f(x)=lnx
由拉格朗日中值定理有存在ε∈（x,x+1）使得f`(ε)=f(x+1)-f(x)
1/(x+1)<f`(ε)=1/ε<1/x
所以1/(x+1)<f(x+1)-f(x)<1/x

第2个回答 2013-03-01

根据lagrrange定理，1/(x+1)<=∫1/x+1dt<ln(x+1)-ln(x)=∫1/tdt从x积到(x+1)<∫1/xdt=1/x

第3个回答 2013-03-01

第4个回答 2013-03-01

没学过诶……······

相似回答

用拉格朗日定理证明:x>0时,1/1+x<ln(1+x)-lnx<1/x答：ln（1+x）-lnx=f'(ξ)=1/ξ，ξ属于（x，x+1），由于1/ξ的单调性有1/1+x<ln(1+x)-lnx<1/x

1/(x+1)<㏑(x+1)-㏑x<1/x 拉格朗日中值定理证明不等式答：依拉格朗日中值定理得 f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]∴ln(x+1)-lnx=(1/ξ)·1 而1/(x+1)<1/ξ<1/x，∴1/(x+1)<ln(x+1)-lnx<1/x.即原不等式得证。

1/1+x<ln(1+x)-lnx<1/x用拉格朗日中定理证明其成立不明白思路啊...答：原题是:1/(1+x)<ln(1+x)-lnx<(1/x) (x>0),用拉格朗日中定理证明其成立. 不明白思路啊!设f(t)=lnt (t>0)，f'(t)=1/t 则x>0时，f(t)在[x,x+1]上连续，在(x,x+1)上可导存在ξ∈(x,x+1)使f'(ξ)=(ln(1+x)-lnx)/((x+1)-x)=ln(1+x)-lnx 即ln(1+x)...

已知x>0,求证1/(x+1)<ln(x+1)/x<1/x答：1)令f(x)=lnx f'(x)=1/x,由拉格朗日定理得，(f(x+1)-f(x))/(x+1-x)=f'(a) a∈（x,x+1)即ln(x+1)-lnx=ln(x+1)/x=1/a,a∈（x,x+1)所以1/(x+1)<ln(x+1)/x<1/x 还有疑问的话，请用工具hi联系！

证明当X>0是有不等式 1/1+x<In[(1+x)/x]<1/x答：解1：ln[(x+1)/x]=ln(1+x)-lnx 在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理得 ln(1+x)-lnx=(1+x-x)(1/ε)=1/ε 其中 x<ε<x+1 所以1/(x+1)<1/ε<1/x 于是1/(x+1)<ln(1+x)-lnx<1/x原命题得证解2：构造函数用单调性证明x/(1+x)<ln(1+x)<x成立然后令x=1/x就...

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