考点:用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析:(1)证明BC⊥平面PBD,利用面面垂直的判定定理,即可证明平面PBC⊥平面PBD;
(2)确定∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角,分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,用坐标表示向量及平面PBC的法向量,利用向量的数量积公式,即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值. 解答:(1)证明:∵CD2=BC2+BD2,∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD
而BC⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PBD…(5分)
(2)解:由(1)所证,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角,即∠PBD=π6
而BD=根号3,所以PD=1…(7分)
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,
后面好像打不出来,等一下我发网址。
点评:本题考查面面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握面面垂直的判定定理,正确运用向量法求线面角.
参考资料:http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/210debb4-a273-4b10-b2ee-b4639772a1bc