向量法证明立体几何中的八大定理

Question

判定定理：1.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
3、如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
4、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：1、如果一条直线与另一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。
2如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他们的交线平行。
3如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
4如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
希望回答能详细点，最好能带上图解，记着是用（空间）向量的方法证明以上定理，谢谢！！！

Answer 1

面面垂直

说明：b⊥L不一定成立。如图，设直线a对应AB，则直线b对应BF或者BE都可以满足条件。而直线L则是对应CD。由此可知b⊥L不一定成立。

证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”的证明。

证明：（法向量证明）

      ∵AB⊥β

     ∴向量AB即可作为β的法向量，而且AB垂直于β内任意的一条直线

      在平面β内过B点作直线BE⊥CD

     ∵AB垂直于β内任意的一条直线

     ∴AB⊥BE

     ∵AB与CD交于B点

     ∴BE⊥α

    ∴向量BE即可作为的α法向量

     又∵向量AB即可作为β的法向量，且AB⊥BE

     ∴α⊥β

(二面角证明)

      ∵AB⊥β

     ∴AB垂直于β内任意的一条直线

     ∴AB⊥CD.

     在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角

     又∵AB垂直于β内任意的一条直线

     ∴AB⊥BE

     ∴二面角α--CD--β是直二面角

     ∴α⊥β

Answer 2

bb如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他们的交线平行。
3如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
4如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个