怎样用积分法解这道题？

Question

如题所述

Answer 1

用含参量积分来做的:
令I=∫(0,π)ln(cosx+2)dx
I(a)=∫(0,π)ln(acosx+2)dx
I'(a)=∫(0,π)cosx/(acosx+2)dx
=1/a∫(0,π)[1-2/(acosx+2)]dx
=1/a*{x-4/√(4-x^2)arctan[√(2-a)/√(2+a)*tan(x/2)]}|(0,π)
=1/a*[π-2π/√(4-a^2)]
I(a)=∫I'(a)da
=∫1/a*[π-2π/√(4-a^2)]da
=πlna-π[lna-ln(√(4-a^2)+2)]
=πln(√(4-a^2)+2)+C
因为有:
I(0)=πln2
所以C=-πln2
令a=1,得到:
I=πln(2+根号3) -πln2