1. 设A为n阶对称矩阵,P为n阶可逆矩阵,证明B=(P^T)AP也是对称矩阵,且R(A)=R(B)

Question

如题所述

Answer 1

B^T =[(P^T)AP]^T = (P^T) A^T P=(P^T) A P =B
所以B也是对称阵

因为P是可逆阵，所以R(P)=n
然后利用两个不等式：
R(AP) >= R(A) +R(P)-n = R(A) +n -n = R(A) ..... <1>
R(AP) <= min{R(A), R(P)} = R(A) .........<2>
由<1><2>得到R(AP) = R(A)

同样的，再把AP看做一个整体，利用两个不等式：
R(P^TAP) >= R(P^T) +R(AP)-n = R(AP)
R(P^TAP) <= min{R(P^T), R(AP)} = R(AP)
得到：
R(P^TAP) = R(AP) =R(A)
即R(A)=R(B)

Answer 2

第一步和楼上方法相同。
第二步方法不同：

利用线性代数基本定理。
Bx=P'APx得到如果x在B的零空间，则同时也在AP的零空间，反之亦然。于是B和AP的行空间维度相同，于是R(B)=R(AP)。
y'A=0等价于y'AP=0，于是A和AP左零空间相同，于是列空间维度相同，于是R(A)=R(AP)。综上R(A)=R(B)