2.如图所示，已知抛物线y=x^2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.

Question

2.如图所示，已知抛物线y=x^2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
（1）求A，B，C三点的坐标
（2）过点A做AP‖CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M做MG⊥x轴于点G，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似.若存在，请求出点M的坐标，不存在请说明理由

Answer 1

解：（1）令y=0，
得x2-1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=-1
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2分）

（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1．
解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍去）．
∴PE=3（4分）．
∴四边形ACBP的面积S= 12AB�6�1OC+ 12AB�6�1PE
= 12×2×1+ 12×2×3=4；（6分）

（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC= 2
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3 2（7分）
设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1）
①点M在y轴左侧时，则m＜-1．

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有 AGPA= MGCA．
∵AG=-m-1，MG=m2-1．
即 -m-13 2= m2-12
解得m1=-1（舍去）m2= 23（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 AGCA= MGPA，
即 -m-12= m2-13 2．
解得：m=-1（舍去）m2=-2．
∴M（-2，3）（10分）．
②点M在y轴右侧时，则m＞1

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有 AGPA= MGCA
∵AG=m+1，MG=m2-1
∴ m+13 2= m2-12
解得m1=-1（舍去）m2= 43．
∴M（ 43， 79）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 AGCA= MGPA，
即 m+12= m2-13 2．
解得：m1=-1（舍去）m2=4，
∴M（4，15）．
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（ 43， 79），（4，15

Answer 2

①、在抛物线y=x�0�5-1中，令y=0 解得：x1=-1 x2=1 ∴A（1，0）B（-1,0)或A（-1，0）B（1，0）C（0，1）②、设BC的解析式为：y=kx+b 把B（1，0）C（0，-1）代入得：y=x-1∵BC平行AP ∴设AP解析式为y=x+q 把A（-1，0）代入得：q=1 ∴AP的解析式为：y=x+1联立二次函数解析式与直线AP解析得 x1=2 x2=-1 ∴P（2，3）S四边形ACBP=S△ACB+S△ABP=1+3=4③、存在 根据勾股定理可以得出：PC= √20 AC= √2 AP=√18AC�0�5+AP�0�5=20=PC�0�5 ∴△PCA为直角三角形且AC/AP=3设M（m，m�0�5-1）Ⅰ。当m＜-1时，AG=-m-1 若△AMG相似△PCA 则AG/MG=1/3 即：（-m-1）/m�0�5-1=1/3解得m1=-1（舍去）m2=-2 ∴M（-2，3）或：（-m-1）/m�0�5=3/1 此方程无解Ⅱ、当-1＜m1时，AG=1+m 同理：（1+m）/m�0�5-1=1/3 解得：m3=4（舍去）m4=-1（舍去）或：（1+m）/m�0�5-1=3解得m4=4/3（舍去）m5=-1（舍去）∴当-1＜m＜1时，不存在符合题意的M点Ⅲ、当m＞1时，AG=1+m （1+m）/m�0�5-1=1/3 解得：m6=4 m7=-1（舍去）或（1+m）/m�0�5-1=3 解得：m8=4/3 m9=-1（舍去） 把m=4/3代入二次函数得y=7/9≠7/3∴m8=4/3（舍去）综上所述：存在两点M（-2，3）（4，15）