线性代数解矩阵方程时怎么确定主变量怎么确定矩阵方程中的主变量和自由未知量？

Question

如题所述

Answer 1

线性代数解矩阵方程时，确定主变量，确定矩阵方程中的主变量和自由未知量：把系数矩阵经初等行变换化成梯矩阵。非零行的从左至右第1个不等于0的数所处的列对应的未知量是约束变量, 其余未知量就是自由未知量。

一般选取单位基础向量进行赋值，例如（0，1，0）（1，0，0）等等等，保证了其线性无关性，所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系。

那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系，显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个，在x1，x2，x3中任选两个，进行赋值，一般为（0，1）或者（1，0），然后确定最后一个值。

证明

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。