1、用洛必达法则求limx趋近于0时 sin^4(2x)/x^3 的极限 2、limn趋于无穷（1/n^a +2/n^a +……+n/n^a）a≥2

Question

1、用洛必达法则求limx趋近于0时 sin^4(2x)/x^3 的极限
2、limn趋于无穷（1/n^a +2/n^a +……+n/n^a）a≥2
3、设f(x)在[a,b]上连续，证明存在C∈（a，b）使得f(C)=1/2[f(a)+f(b)]
4、证明e^x + e^(-x) +2cosx=5 恰有两个根
5、证明x/x+1 ＜ ln(x=1) ＜ x 其中x＞0
6、运用对称区间上奇函数的积分值为零求∫-2到2 x^2008sinxdx 和 ∫-1到1 x^4(e^-x - e^x)dx
考研给划的题 没答案 有一些不知道过程和答案是否准确的 求助高手 小号没多少分 答的好的 大号补给分 万分感谢啊
如果您只会其中一两个也希望您不吝解答

Answer 1

1. 注意到每次上面求导之后会出一个cos2x，这个东西在x->0是极限是1，所以可以扔掉
下面的过程中x->0就不写了，逐次求导
lim（sin^4(2x)/x^3）=lim(8sin^3(2x)/6x^2)=lim(48sin^2(2x)/12x)=lim(4sin^2(2x)/x)
=lim(16sin(2x))=0
2.是一个等差数列，求和为n(n+1)/2n^a,
∴a=2时极限是1/2，a>2是极限是0
3. 其实就是用一下连续函数的介值定理，随便一本教材上都会有的，网上也很好查大致思路就是取一个所有它大的东西的下确界。
4. 记f(x)=e^x + e^(-x) +2cosx-5 f与x轴的交点就是解
f'(x)=e^x - e^(-x) -2sinx f''(x)=e^x + e^(-x) -2cosx
由均值不等式， e^x + e^(-x)>=2>=2cosx 所以f''(x)恒非负
所以f'(x)单调递增，容易看出f(-无穷)<0,f(+无穷)>0，所以f是先减后增的
所以f与x轴至多有2个交点。又因为f(-无穷)>0,f(0)<0,f(+无穷)>0
所以由介质性质，f在（负无穷，0）与（0，正无穷）上与x轴都会有交点
所以恰有2个交点，也就是2个解
5. 两个不等号证明方法类似，以左边为例
记f(x)=ln(x+1)-x/(x+1) 则f'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2=x/(1+x)^2>0
所以f单调递增 又f(0)=0-0=0 所以f在x>0时大于0
即ln(x+1)>x/(x+1) 另一边类似
6.两个都是奇函数，又因为区间关于0对称，所以积分结果都是0
（证明：设f(x)是奇函数，区间为（-a,a），则可以分成两段（-a,0）和(0,a)，在第一段上做代换t=-x,区间就和第二段的一样了，加起来就是0了）

Answer 2

1、limx趋近于0时 limsin^4(2x)/x^3 =lim8sin^3(2x)cos2x/3x^2 =
lim8sin^3(2x)/3x^2 =lim48sin^2(2x)cos2x/6x=lim48sin^2(2x)/6x=0
2、limn趋于无穷（1/n^a +2/n^a +……+n/n^a)=limn(n+1)/2n^a
a=2.极限=1/2 ；a>2.极限=0
3、设f(x)在[a,b]上连续，证明存在C∈（a，b）使得f(C)=1/2[f(a)+f(b)]
证明：f(x)在[a,b]上连续，故存在最大值M和最小值m,使：m《f(x)《M，
所以：m《1/2[f(a)+f(b)]《M,由介值性定理：存在C∈（a，b）使得f(C)=1/2[f(a)+f(b)]

4、证明：f(x)=e^x + e^(-x) +2cosx-5, f(0)=-1,f(-ln25)>0,f(ln25)>0 ,故f(x)在区间(-ln25,0),(0,ln25)有根。又：f'(x)=e^x -e^(-x) -2sinx, f''(x)=e^x +e^(-x) -2cosx》0，由于e^x +e^(-x)》2.只有x=0时等号成立，故 f''(x)=0只有1解x=0. 如果方程根的个数>3, 则两次运用罗尔定理推出矛盾。
故 恰有两个根

5、证明：f(x)=ln(x+1),f'(x)=1/(x+1) ,由拉格朗日中值定理：f(x)-f(0)=f'(c)x ,(0<c<x)即：
ln(x+1)=x/(c+1) ,但 x/(x+1)<x/(c+1)<x,代入得：
x/x+1 ＜ ln(x+1) ＜ x （其中x＞0）

6、∫-2到2 x^2008sinxdx ：x^2008sinx为奇函数，故∫-2到2 x^2008sinxdx =0
∫-1到1 x^4(e^-x - e^x)dx：:x^4(e^-x - e^x)为奇函数，故 ∫-1到1 x^4(e^-x - e^x)dx=0本回答被网友采纳

Answer 3

嗯，我同意